黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|A x y ==， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤2．i是虚数单位，复数z =，则（ ）A．122z -=B．z =C．32z =D．34z =+ 3．下列命题中是真命题的是（ ） ①“1x >”是“21x ”的充分不必要条件；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”； ③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x ---的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解.A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④4．二项式261()2x x-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．52-B ．52C ．1516D ．316-5．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．17246．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（）A ．60B ．120C ．180D ．2407．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）A ．若,m n m α⊥⊥，则//n αB ．若//,//,m n m n αα⊄，则//n αC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂8．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ．D ．9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）A ．6i >，7S S =B ．6i 7S S =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S =10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若双曲线上存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．52C ．53D ．511．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13 C ．4或14D ．5或1512．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23C ．3D ．13或3二、填空题13．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，(3,1)a =-，1b ||=，则|2|a b -=________. 14．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，484a a =，1122log 3b T =（0b >且1b ≠），则b =__________.15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y +的最大值为________.三、双空题16．已知曲线1C ：()2x f x e x =--，曲线2C ：()cos g x ax x =+， （1）若曲线1C 在0x =处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a =________；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为1l ，总存在2C 上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为________.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+，2sin sin cos 2C A B =，（1）求C ；（2）若ABC 的面积为c ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形//AB CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ；（2）若PE EC λ=，F 是PB 的中点，AD =，22AB AP CD ===，且二面角F AD E --的正弦值为10，求λ的值. 19．甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由 （2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.20．如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB =，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、 ，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ； （2）求MNF ∆面积的最大值.21．已知函数()()1ln 1f x x x =++，()ln 1x g x e x -=++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()h x f x g x =-，若()h x 的最小值为M ，证明：2211M e e--<<-. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求PA PBPB PA+的值． 23．设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++； （Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥参考答案1．A 【解析】 【分析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B 即可.【详解】解：{|A x y ==={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．D 【分析】根据复数的除法运算，模长公式求解即可. 【详解】34z ===+1122z -==，||z == 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及几何意义，属于基础题. 3．A 【分析】根据充分不必要条件定义和不等式关系，即可判定①的真假；根据全称命题的否定形式，可判定②的真假；根据数据线性关系的平均数性质，可判定③的真假；将3a =-代入方程组，即可判定方程组解的情况. 【详解】①1x >，则有21x ≥，但21x ≥，则1x >或1x <-， 所以“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件，所以①正确； ②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是 “00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=， 故③错误；④当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确.故选：A. 【点睛】本题考查命题真假的判定，涉及到充分不必要条件的判定、命题的否定、平均数的性质、方程组解的讨论，属于基础题. 4．A 【分析】根据二项式展开的通项，求解即可. 【详解】通项为()()6212316611122r rrr rr rr T C x C xx --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.5．B 【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示， 因为直线0x y +=，0x -=的倾斜角分别为34π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题. 6．C 【分析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米； 若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能； 若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题. 7．A【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A . 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 8．B 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 9．A 【分析】 依题意问题是()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，然后按直到型验证即可. 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6i >，7S S =， 故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题. 10．B 【分析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式. 11．C 【分析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义. 12．D 【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为PE AP ==即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13或3， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.13【分析】根据已知求出||b ，利用向量的运算律，求出2|2|a b -即可. 【详解】由(3,1)a =-可得2||(3)2a ==， 则||||cos13a b a b π⋅=⋅=，所以222|2|(2)4413a b a b a a b b -=-=-⋅+=.故答案为【点睛】本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.14．利用等比数列的性质求得6a ，进而求得11T ，再利用对数运算求得b 的值. 【详解】由于0n a >，24864a a a ⋅==，所以62a =，则11111162T a ==，∴1122log 11log 23b b T =⨯=，2log 23b =，233b ==.故答案为：【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题. 15．16 【分析】根据三视图,利用勾股定理列出等式,再结合基本不等式求最值. 【详解】由三视图之间的关系可知2210802x y =--,整理得22128x y +=,故22222()2()2562x x y x y x y y =++=++≤, 解得16x y +,当且仅当8x y ==时等号成立, 故答案为:16 【点睛】本题考查三视图之间的关系应用,考查基本不等式,难度不大. 16．－2 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由已知分别求出曲线1C 在0x =处的切线的斜率及曲线2C 在2x π=处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得a 的值;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2x k f x e ='=--,则与1l 垂直的直线斜率为11(0,)22xe ∈+,再求出过曲线2C 上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案.(1)()2x f x e '=--,则曲线1C 在0x =处的切线的斜率1(0)3k f '==-,2()sin ,g x a x C '=-在2x π=处的切线的斜率212k g a π⎛⎫'==-⎪⎝⎭, 依题意有13a -=-,即2a =-;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2xk f x e '==--, 则与1l 垂直的直线的斜率为110,22x e ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭, 而过2C 上一点处的切线的斜率[]2()sin 1,1k g x a x a a '==-∈-+,依题意必有10112a a -≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩,解得112a -≤≤, 故答案为:12;,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题. 17．（1）23C π=（2）c =【分析】（1）根据题意，通过正弦定理化简得222a b c ab +-=-，结合余弦定理求得1cos 2C =-，而0C π<<，即可求得角C ；（2）由于2sin sin cos2CA B =，通过降幂公式、诱导公式以及两角和与差的余弦公式，化简得()cos 1A B -=，结合A ，0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求出A B =，根据题给条件结合三角形面积212sin 23πS ab ===4a b ==，最后利用余弦定理即可求出c 边.【详解】 解：（1）()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+，由正弦定理得:()()()c a c a a b b -+=+， ∴222a b c ab +-=-，又由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-=，1cos 22ab C ab -∴==-，即：1cos 2C =-，∵0C π<<， ∴23C π=. （2）因为21cos sin sin cos22C C A B +==， 所以()2sin cos 1cos 1cos A B C πA B =+=+-+⎡⎤⎣⎦()1cos 1cos cos sin sin A B A B A B =-+=-+化简得()cos 1A B -=，∵23C π=，则A ，0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴33ππA B -<-<， ∴0A B -=，得：A B =，因为ABC 的面积为所以212sin 23πS ab === 得216a =，∴4a b == 由余弦定理知：2222212cos 44244482c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c = 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，以及降幂公式、诱导公式以及两角和与差的余弦公式等知识的运用，考查计算能力.18．（1）证明见解析（2）1λ=或4 【分析】(1)先证明PA AD ⊥,结合AB AD ⊥,推出AD ⊥平面PAB ,再根据面面垂直的判定定理证明出结论;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法结合夹角公式建立λ的关系式,求解即可. 【详解】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥, 又AB AD ⊥,PAAB A =,所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB ;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)P ,C ,D ,(0,1,1)F , 由(1)知AD ⊥平面PAB ,故AD PB ⊥, 又F 是PB 的中点,AB AP =,∴PB AF ⊥,且AFA AD =,∴PB ⊥平面ADF ,∴平面ADF 的一个法向量为(0,2,2)PB =-, ∵PE EC λ=,∴32,,1111PE PC λλλλλλλ⎛⎫-== ⎪ ⎪++++⎝⎭, ∴32,11AE AP PE λλλ⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =, 则0n AD ⋅=且0n AE ⋅=,0=且20111x y zλλλλ++=+++, ∴0x =,令1y =,则2z λ=-,∴平面ADE 的一个法向量0,1,2n λ⎛⎫=-⎪⎝⎭, ∵二面角F AD E --∴()3cos ,PB n =10=,∴1λ=或4. 【点睛】考查空间中的垂直,考查向量法求二面角的余弦值,属于中档题. 19．（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解析（2）①213P =，359P =②证明见解析；1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（120n ≤≤）【分析】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则2~(3,)3B ξ,设甲第一轮答题的总得分为x ,则1515x ξ=-,1515Ex E ξ=-,设乙第一轮得分为y ,求出y 的分布列,得到Ey ,比较两者大小即可得出结论;(2)①依题意得11P =,213P =,再利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出3P ;②1111212(1)(2)3333n n n n P P P P n ---=⨯+-⨯=-+,从而1111()232n n P P --=--,2n ,由此能证明1{}2n P -是等比数列,并求出(120)n P n 的表达式.【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-, 所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=; (或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2231212(15)3327P x C ⎛⎫===⎪⎝⎭, 213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,30311(15)327P x C ⎛⎫=-==⎪⎝⎭, 故得分为x 的分布列为:812130151515272727Ex =⨯+⨯-⨯=;) 设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10C P y C ===,2132356(15)10C C P y C ===,1232353(0)10C C P y C ===, 故y 的分布列为:故163015121010Ey =⨯+⨯=, ∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲. (2)①依题意知11P =,213P =,31122533339P =⨯+⨯=, ②依题意有()111121213333n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=-+(2n ≥), ∴1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,(2n ≥), 又11122P -=, 所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列,∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).【点睛】本题考查概率､离散型随机变量的分布列､数学期望的求法及应用,考查等比数列,需要学生具备一定的运算求解以及分析理解能力,属于中档题. 20．（1）2413；（2）【分析】（1）利用椭圆的性质得出椭圆方程，根据题意得出直线l 的方程，直线HG 的方程，进而得出2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由距离公式得出GF ； （2）设直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，0MNF S ∆=，当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-，联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理以及弦长公式，得出234MN m =+，利用三角形面积公式，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】（1）∵8AB =, ∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310a a a c e e c-=-⇒-+= ∴12e =∴2c =, 22212b a c =-= ∴椭圆的标准方程为2211612x y += 点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0-直线l 的方程为()184y x =+ 即48x y =- 联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设1122,,M x y N x y ，()00,H x y 则124813y y +=，123613y y = 所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=- 直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---= ⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =- 联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设1122,,M x y N x y ()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+MN ==点F 到直线l的距离d ==1122MNF S MN d ∆=⋅==7216=≤=当且仅当=m =0的条件）取等号,所以当114k m ==±时，直线l为)814y x =±+时，MNF ∆面积取得最大值为【点睛】 本题主要考查了求椭圆的方程以及三角形面积问题，属于中档题.21．（1）在0,上单调递增；（2）见解析【分析】 （1）利用导数证明单调性即可；（2）利用导数证明()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，从而得出()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e==-=++，()210,x e e --∈ ，结合()f x 的单调性，即可证明2211M e e --<<-. 【详解】(1)()()1ln 1ln ln 1f x x x x x x =++=++()1ln 1f x x x+'=+， 设()()221111ln 1,x m x x m x x x x x-=++=-=' ()01m x x >'⇒>；()001m x x <⇒<<'所以()m x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增()()min 120m x m ==>，即0f x 所以()f x 在0,上单调递增(2) ()()()()1ln ln ln x x h x f x g x x x e x x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++' ，设()ln 1x F x e x -=++()11x x x e x F x e x xe='-=-+， 设()x G x e x =- ()10x G x e ='->，所以()G x 在0,上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在0,上单调递增 ()()12120,10e e F e e F e e ------=>=-<所以()F x 在0,上恰有一个零点()210,x e e --∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e ==-=++，()210,x e e --∈ 由（1）知()0f x 在0,上单调递增 所以()()()2102211f e f x f e e e----=<<=- 所以2211M e e --<<- 【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，以及利用导数证明不等式，属于较难题.22．（1）10x y --=；22220x y x y +--=；（2）4【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的参数方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t +-=，得出12t t +=121t t ⋅=-，化简()222121212122112122PA PB t t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可求出结果.【详解】解：（1）l 的参数方程消去参数，易得l 的普通方程为10x y --=，曲线C：()2cos sin 2πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 即()22cos sin ρρθθ=+，∴22220x y x y +--=，所以曲线C 的直角坐标方程为：22220x y x y +--=. （2）l的参数方程2,1,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 设A 对应参数为1t ，B 对应参数为2t ，将l 的参数方程与22220x y x y +--=联立得：210t +-=，得：12t t +121t t ⋅=-， 所以2212122112PA PB t t t t PB PA t t t t ++=+= ()()2212121221222411t t t t t t -⨯-+-+====- 即4PA PB PB PA+=. 【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程，得到关于t 的一元二次方程，联立写出韦达定理，运用直线参数方程中参数t 的几何意义进行求解.23．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）运用重要不等式222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，累加可得证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论和三个数的完全平方公式，整理可得证明．【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++，即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++，故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=，所以3a b c++得证． 【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．。