2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期开学考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}23log ,1,230A y y x x B x x x ==>=--<，则A B ⋂=( ) A ．{}03y y <<B ．{}01y y <<C ．{}1y y >D ．{}3y y >2．已知复数z 满足()14i z i +=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．22i +B ．22i -C ．12i +D ．12i -3．下列说法中正确的是（ ）A ．“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件B ．命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈<C ．为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40D ．已知回归直线的斜率为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为^ 1.230.08y x =+.4．函数()()ln sin ,0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）A ．甲不是海南人B ．湖南人比甲年龄小C ．湖南人比河南人年龄大D ．海南人年龄最小6.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+042033022y x y x y x ，则y x z 3-=的最小值为（ ）A ．7-B ．6-C ．1D ．67．若把单词“anyway ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ） A ．179B ．181C ．193D ．2058．已知向量()2sin ,cos m x x =-，(cos n x =-，设函数()32f x m n =+，则下列关于函数()f x 的性质描述错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间[,]122ππ上单调递增 B ．函数()f x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()f x 在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．函数()f x 图象关于点(,0)3π对称9．1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和行星距离的法则。

记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当时 德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳的平均距离为28处还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳平均距离为28的谷神星。

请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是 A ．388B ．772C ．1540D ．307610.阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德，欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值()1,0≠>λλλ的动点的轨迹。

已知在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且,sin 2sin B A =,2cos cos =+A b B a 则ABC ∆面积的最大值为 A.2 B.3 C.34 D.3511. 如图，已知双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A.233B.54 C.53 D.32212.已知()()()1ln 1ln ++++=x x x ax x f 与()2x x g =的图像至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22 D.()2,1 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知()344tan 0=⎪⎭⎫⎝⎛+∈πθπθ，，，则=+θθcos sin __________. 14．已知1211a x dx -=-⎰，则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______． 15．已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为6125π，三视图如图所示，则其侧视图的面积为__________.16.已知实数βα,满足(),1ln ,43e e e =-=ββαα其中e 是自然对数的底数，则_______=αβ三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且*33332123,2,n n n n N a a a a S S ∀∈++++=+……其中n S 为数列{}n a 的前n 项和（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设数列{}n b 满足()1222-+=n nn a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T 18. （本小题满分12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K K ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010K2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，N M ,分别是棱PD AB ,的中点，PB PA =，PB AD ⊥，直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为32.（1）证明：//MN 平面PBC ； （2）求二面角D MN C --的余弦值. 20.（本小题满分12分）如图,椭圆()01:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点分别为x MF F F ⊥221,,轴,直线1MF 交y 轴于H点,Q OH ,42=为椭圆E 上的动点,△Q F F 21的面积的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程;(2)如图,过点()0,4S 作两条直线与椭圆E 分别交于A,B,C,D,且使AD ⊥x 轴,问四边形ABCD 的两条对角线的交点是不是定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.21. （本小题满分12分） 已知函数2()()xf x ax x a e-=++()a R ∈.（1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为5e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+，在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用B 2铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22143x y +=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． (1)求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 上的动点，求△PAB 面积的最大值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|2|||)(m x m x x f +--=的最大值是3，其中.0>m （1）求m 的值；（2）若实数b a ,满足0>ab ，且222m b a =+，求证：.133≥+ab b aABDDD AACBC CB13.4214.-160 15.6 16.4e17. （1）（2）由题意知，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=⋅++=1112121222n n n n n n n b n ，12111211131212112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n n n T n 18.解：（1）完成列联表（单位：人）： 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 50 100 女性 70 30 100 合计12080200由列联表，得：()2220050305070258.333 6.635120801001003K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人，偶尔或不用网购的有30103100⨯=人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：2137373104960c c c P c +==． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6， 由题意()100.6XB ，，∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =⨯=，方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=．20.解析 (1)设M(c,y M ),由题意可得+=1,即y M =.∵OH 是△F 1F 2M 的中位线,且OH=, ∴|MF 2|=,即=,整理得a 2=2b 4,①又由题知,当Q 在椭圆E 的上、下顶点时,△F 1F 2Q 的面积最大,∴()max =·2c·b=1,整理得bc=1,即b 2(a 2-b 2)=1,② 联立①②可得2b 6-b 4=1,变形得(b 2-1)(2b 4+b 2+1)=0,解得b 2=1,进而a 2=2. ∴椭圆E 的方程为+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则由对称性可知D(x 1,-y 1),B(x 2,-y 2),设直线AC 与x 轴交于点(t,0),直线AC 的方程为x=my+t(m ≠0),联立消去x,得(m 2+2)y 2+2mty+t 2-2=0,∴y 1+y 2=,y 1y 2=,由A,B,S 三点共线有k AS =k BS ,即=,将x 1=my 1+t,x 2=my 2+t,代入整理得2my 1y 2+(t-4)(y 1+y 2)=0,从而=0,化简得2m(4t-2)=0,解得t=. 于是直线AC 的方程为x=my+,故直线AC 过定点. 同理可得BD 过定点.∴直线AC 与BD 的交点是定点,定点坐标为. 21（1）由题意，.①当时，， 令，得；，得，所以()f x 在(),1-∞单调递增()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()151f e e=≠，不合题意.②当时，，令，得；，得或，所以()f x 在11,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()2151a f e e+==，得2a =. 综上所述2a =. （2）令，当时，，故()(]-0g a ∞于，上递增， ()()()0,0xg a g xe x -∴≤=≥ ∴原问题()[)ln 10,x xe b x x -⇔≤+∈+∞于上恒成立①当时，，，，此时，不合题意.②当时，令，，则，其中，，令，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增（ⅰ）时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立. （ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减，则时，，即，不符合题意. 综上所述，. 22.【详解】 （1）由22143x y +=，得C 的参数方程为2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 由()2sin sin cos 242πρθρθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭l 的直角坐标方程为20x y --= （2）在20x y --=中分别令0y =和0x =可得：()2,0A ，()0,2B - 22AB ⇒=设曲线C 上点()2cos 3sin P αα，则P 到l 距离： 327sin cos 22cos 3sin 23sin 2cos 277222d αααααα⎛⎫-+ ⎪---+⎝⎭=== ()7sin 22αϕ-+=，其中：3cos 7ϕ=，sin 7ϕ= 当()sin 1αϕ-=，max 72d =所以PAB ∆面积的最大值为172227222+⨯= 23.【答案】：（1）1m =；（2）见解析 【解析】： （1）2()(2)33x m x m x m x m m m --+≤--+==∴当0)2)((≥+-m x m x 时m x m x 2+--取得最大值m 3,33=∴m 则1m =（2）由（1）有122=+b a 又22112,2a b ab ab =+≥∴≤（当且仅当b a =时等号成立） 121221121212)(22222224433=⋅-≥-=-=-+=+=+∴ab ab ab b a ab b a b a ab b a a b b a。