df (t ) 如果L[ f (t )] F (s), 则f (t )的导数f ' (t ) 的拉氏变换为 dt df (t ) L[ f ' (t )] L[ ] sF (s) f (0 ) dt
同理可得f(t)=eαt 的拉氏变换为：
L[e ]
t
0
e
( s )t
求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。 由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为 1 st 1 st st F (s) L[ (t )] (t )e dt e dt e 0 0 0 s s 同理，单位冲激函数的象函数为

0
f (t )e st dt

该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数，此式表 明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又 可得到它的象函数F(s)，记作： f (t ) L1[ F (s)] 式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函 数进行拉氏反变换。 在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个 复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟 一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不 同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变 换的惟一性。 注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律 用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字 母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。
F (s) AF1 (s) BF2 (s),
上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可 以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
求f1 (t ) sin t和f 2 (t ) cos t的象函数。
根据欧拉公式： e jt cos t j sin t可得： e jt e jt e jt e j t sin t , cos t 2j 2 1 jt 由前面例题得出L[e ] s j
st

0

s2 2
什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？
什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？
已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。
原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数普拉斯变换的基本性质
学习目标： 了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以 很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以 把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。 1.代数性质 设函数f1 (t )和f 2 (t )的象函数分别为 F1 (s)和F2 (s)， 则函数 f (t ) Af1 (t ) Bf 2 (t )的象函数为：
第12章 拉普拉斯变换
12.1 拉普 拉斯变换 的定义
12.4 应用 拉普拉斯变换 分析线性电路
12.2 拉普 拉斯变换的 基本性质
12.3 拉普 拉斯反变换
本章教学目的及要求
了解拉普拉斯变换的定义和基本 性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形 式、运算阻抗和运算导纳的基础上， 掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性 电路的方法和步骤；在求拉氏反变换 时，要求掌握分解定理及其应用。
求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=eαt (α≥0,α是常数)的 拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得
L[e
t
]
此积分在s>α时收敛，有：

0
e
t
e
st
dt

0
e ( s )t dt
L[e
t
]

0
e
( s )t
1 dt s 1 dt s
L[e
- jt
1 1 1 1 s j s j 故 L[sin t ] ( ) 2 2 2 2 j s j s j 2 j s s 2
1 ] s j
1 1 1 s 同理： L[cos t ] ( ) 2 2 s j s j s 2
拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。 只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有
F ( s)

0
f (t )e st dt
F ( s)
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域 函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st 称为收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的 频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为 负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时 域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的象函数。记作 F (s) L[ f (t )] 式中L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉 氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时 间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。 如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函 数f(t) ，又要用到拉氏反变换，即： 1 j f (t ) F ( s )e s t dt 2j j
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计 算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变 换)就是其中的一种。 拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方 法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路) 的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、 象函数的概念。
F (s) L[ (t )]

0
(t )e dt (t )e st dt e s (0) 1
st 0
0
0
正弦函数sin ωt的象函数为： F ( s ) L[sin t ] sin te st dt
e 2 s 2 ( s sin t cos t )