高三数学测试题—多面体和旋转体（11）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．三棱锥的三个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影一定是底面三角形的 （ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心2．正三棱锥S —ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，体积为V ，A ′、B ′、C ′分别是SA 、 SB 、SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 41,31,21='='='，则三棱锥S —A ′B ′C ′的体 积为（ ）A ．V 91B ．V 121C ．V 241 D ．V 7213．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．把边长为4和2的一个矩形绕其一边卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为 （ ）A ．16πB ．8πC ．16π或8πD ．16π或32π5．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，则棱台的侧面积为（ ）A ．64B ．68C ．34D ．386．圆台上、下底面边长分别为1和7，作与两底平行的截面，且截面与上、下两底距离之比 为1∶2，则截面的面积为（ ）A ．π37B ．π73C ．π964 D ．π387．圆锥的顶角为120°，高为a ，用过顶点的截面去截圆锥，则截面的最大面积为（ ）A ．a 2B ．2a 2C ．23aD ．4a 28．若四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA=a ，PB=PD=a 2，则在它的 五个面中，互相垂直的面共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对9．已知：圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于 （ ）A ．233 B ．23 C ．33 D ．4310．一个正四面体外切于球O 1，同时内接于球O 2，则球O 1与球O 2的体积之比为（ ）A ．1∶27B ．1∶66C ．1∶8D ．1∶3311．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1，3,2，则此三棱锥的外接球面积是（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π12．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为1，P 是侧棱BB 1上的一点，则四棱锥P —ACC 1A 1的体积是（ ）A ．31B ．32 C ．41 D ．43 二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．正四面体的棱长为a ，对棱之距为b ，则ba= . 14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，直线l与平面△ABC 在同一平面内，且过B 点，l ⊥AB ，△ABC 绕直 线l 旋转一周所得几何体的体积为 .15．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 . 16．圆台母线与底面成α角，半径为R 的球内切于圆台，则球面被圆台分成的两部分面积之比是 . 三、解答题17．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD 的底面是正方形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，截面AEKH ⊥SC.求证：E 、H 在以AK 为直径的圆上.lA 1B 1C118．（本题满分12分）斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积.19．（本题满分12分）如图在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2a，且AB、AC、AD两两互相垂直，E、F分别是AB、AC的中点.求平面BCD与平面EFD所成二面角的正切值.F20．（本题满分12分）过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等.（Ⅰ）若∠APB=2α，求弦长：（Ⅱ）求三棱锥P—ABC体积的最大值.21．（本题满分12分）圆锥底面半径为R，母线与底面夹角为2α，第一个球与圆锥底面和侧面都相切，第二个球与第一个球和圆锥侧面都相切，如此继续下去，当这些球的个数无限增多时，求所有球的体积之和.22．（本题满分14分）正三棱台有一内切球，若内切球的面积与这棱台的全面积之比为 32∶39，求棱台的侧面与底面所成角的大小.高三数学测试题参考答案十一、多面体和旋转体一、1.A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.A 12.B 二、13．2 ； 14．π3320； 15．V 31 ； 16．)cos 1(:)cos 1(αα+-三、17．（1）证明：∵SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，∴BC ⊥侧面SAB ，AE ⊂侧面SAB ，∴AE ⊥BC ，又∵SC ⊥截面AEKH. ∴AE ⊥SC ，∴AE ⊥侧面SBC ，∴AE ⊥KE ，同理AH ⊥HK. ∴A 、E 、K 、H 四点共同，且AK 是圆的直径.18．解：如图，过B 作BM ⊥AA 1，垂足为M ，连结CM. ∵侧棱AA 1和AB 、AC 都成45°，∴△AMB ≌△CMA ，∴CM ⊥AA 1，于是截面 MBC 是斜三棱柱的直截面.由已知a CM BM 22==.∴斜棱柱的侧面积.41.)12()222(2b a V ab b a a S =+=⋅+⋅=体积侧 19．解：∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ∥底面BCD.设平面EFD ∩平面BCD=l ，取EF 、BC 的中点分别为M 、N ，连结DM 、DN.∵AB=AC=AD=2a ，且AB 、AC 、AD 两两重直，∴BC=CD=BD=a 22， DE=DF=a 5，且DM ⊥EF ，DN ⊥BC. 又∵EF ∥BC ∥l ，∴DM ⊥l ，DN ⊥l . ∴∠MDN 就是平面BCD与平面EFD 所成二面角的平面角. 在△MND 中，aa a FM DF DM 2232152222⋅=-=-=，a BC DN 623==. 连结AN ，则AN 必过M 且.2221a AN MN ==.3352cos 222=⋅-+=∠∴DN DM MN DN DM MDN .52=∠∴M D N tg20．（1）如图（见题图），由PA=PB=PC ，且∠APB=∠BPC=∠CPA ，知三棱锥P —ABC 是一个正三棱锥，作其高PO ′则O ′为正△ABC 的中心，显然球心O 也在PO ′所在的直线上. 设,..sin 2,2,,O P O B m AB APB m PB h O P '⊥'=∴=∠==' αα且αsin 23333m AB O B ==' 又222222)sin 332(,m h m PB O O B O =+='+'α即 ① 又∵过PO ′与PB 的平面截球的截面为球的大圆，延长PO ′交球面于Q ，则PB ⊥BQ..2,22R h m PQ O P PB ⋅=⋅'=∴即 ② 把②代入①消去h ，整理得224224sin 34mR m m =+α，).sin 43(34)sin 341(422222αα-=-=∴R R m .sin 433322α-=∴R m 此即为所求的弦PA 、PB 、PC 的长.（2）22433)3(43,,31n n S n O B h S V ABC ABC ABC P ==='=∆∆-则设， h h R h h n V ABC P )2(43432-==∴- 332738)324(83)24(83R h R h h h h R h =-++≤⋅-= 当且仅当h R h24-= 即R h 34=时取等号. ∴当圆锥的高等于R 34时，其体积取得最大值32738R21．解：作出满足题条件的轴截面图形（如图），圆锥的高SO 通过球心O 1、O 2、O 3…，设它们与圆锥侧面相切的切点分别是E 、F 、G ….球的半径分别是r 1、r 2、r 3….于是便有：r 1=Rtg α，在Rt △SO 2F 中， r 2=SO 2cos2α，又∵SO 2=SO －NO 2=Rtf2α－2r 1－r 2，∴r 2=（R ·tg2α，2Rte α－r 2）·cos2α，∴r 2=Rtg 3α. 同理r 3=Rtg 5α… ∴ααπαααπ63315933134)(34tg tg R tg tg tg R V -⋅=+++⋅=.)1(34633ααπtg tg R -=22．解：如图，球K 内分于三棱台ABC —A 1B 1C 1，O 1、 O 2为棱台上下底面中心， N 1、O 、O 2三点共线，迆 A 1A 、O 1O 作截面交B 1C 1BC 二D 1、D ，则球的大圆O 切AD 、D 1D 、A 1D 1于N 2、E ，O 1，设棱台上、下底面边长分为3a 、3b ，刘O 1D 1=2)3(63a a =， 2)3(632bb D O ==，).(212111b a D O D O D D +=+=过D 1作D 1F ⊥O 2D 于F ，则)(21a b DF -=ab a b b a DF D D F D O O =--+=-==∴22221121)(41)(41 设棱台的侧面与底面所成 的角为α，则.sin 4)(.)(4sin ,2sin 222211αααab b a b a ab b a ab D D F D =+∴+=∴+==ab ab O O S πππ===∴2221)2(4)2(4球. )33(43)(21)33(21322b a b a b a S ++++=棱台全 ]2)(2[433)]()[(4332222ab b a b a b a -+=+++=)1sin 4(233]sin 4[23322-=-=ααab ab ab .3932sin sin 4233.sin sin 42332222πααπαα=-=∴-=ab ab S S ab 棱台全球 13sin sin 4322=-∴αα，由此解得︒=∴=∴︒<<=60.23sin ,900.43sin 2αααα .21题图 22题图即棱台的侧面与底面所成的角为60°。