第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算
1、定义
定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n
i 1s max T ，在i L 上任取一点
(i ,).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n
1
i i 0T
且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为
J s ),,(f lim i i i n
1
i i 0T ，(此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T ,
J 为一常
数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义
（1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。

现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i
由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i
）
i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和
式
i n
1
i i )P (f 当对 的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。

（2）空间曲线L 的重心坐标为
(,,)(,,)yz L
L
x x y z dl
M x M
x y z dl
,
(,,)(,,)zx L
L
y x y z dl
M y M
x y z dl
,
(,,)(,,)xy L
L
z x y z dl
M z M
x y z dl
（3） 曲线L 的绕z 轴(x, y 轴)的转动惯量是
22()(,,)z L
J x y x y z dl
3、几何意义
1） 当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度。

（2） 当.ds )y ,x (f ,0)y ,x (f L 表示以L 为准线，以平行于z 轴的线为母线的曲柱面的面积。

4、 性质
第一型曲线积分具有下述一些重要性质:
（1）若 k ,,2,1i ds y ,x f L i 存在， k ,,2,1i c i 为常数，则
ds y ,x f c i L k 1i i 也存在，且 .ds y ,x f c ds y ,x f c L i k
1
i i i L k 1i i （2）若曲线段L 由曲线k 21L ,,L ,L 首尾相接而成，且
i (ds y ,x f i L )k ,,2,1 都存在，则 ds y ,x f L 也存在，且 ds y ,x f ds y ,x f k
1
i L L I 。

（3）若 ds y ,x f L 与 ds y ,x g L 都存在，且在L 上 ,y ,x g y ,x f 则
ds y ,x g ds y ,x f L L 。

（4）若 ds y ,x f L 存在，则 .ds y ,x f L 也存在，且 ds y ,x f ds y ,x f L L 。

（5）若 ds y ,x f L 存在，L 的弧长为s ，则存在常数c,使得 ,cs ds y ,x f L 这里 y ,x f sup c y ,x f inf L
L。

5、 第一型曲线积分的计算 定理1 设有光滑曲线 L ： ,,t ,
t y ,
t x
函数 y ,x f 为定义在L 上的连
续函数，则 .dt t t t ,t f ds y ,x f 2'2'L
（3） 定理2 当曲线L 由方程 b ,a x ,x y 给出，且 x 在 b ,a 上有连续导函数
时， dx x 1x ,x f ds y ,x f 2'b a
L (5) 定理3 当曲线L 由方程 d ,c y ,y x 给出，且 y 在 d ,c 上有连续导函数
时, L d c
2'.dy y 1y ,y f ds y ,x f (6) 定理4 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为
0x x t y y t t t T z z t
则
222
,,,,'''T
l
t f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt。

定理5 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为
12(,,)0(,,)0
x y z x y z
则可化为以x 为参数的参数方程。

然后化为定理4的形式。

22
,,,,1''T
l
t f x y z ds f x y x z x y x z x dx。

定理6 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的的方程为
12(,)(,)z g x y z g x y
则在一定的条件下可化为以z 为参数的参数方程，再化为定理4的形式。

22
,,,,''1T
l
t f x y z ds f x z y z z z x z y z dz。

历年真题
1、计算 L 2ds x ，其中L 为球面2222a z y x 被平面0z y x 所截得的圆周。

【解析】
由对称性知 L
L
22L
2ds z ds y ds x
所以.a 32ds 3a ds )z y x (31ds x 3L 2L 2
22L
2
2、求 L
ds )zx yz xy (，其中L 是球面2222a z y x 与平面0
z y x 的交线。

【解析】
L
ds )zx yz xy (
L
ds )zx yz xy (221
L
2
222ds )]z y x ()z y x [(21 L
2
22ds )z y x (21
L 32a ds 2a 3、已知曲线2x 0(x y :L 2 ，则 L xds
(2009，数一，4
分)
【解析】
6
13)x 41(d x 4181dx x 41x xds 2202202L 4、已知曲线2x 1y :L ，则曲线积分 L 22ds )y x (
(1989，数一，3
分)
【解析】
将积分曲线方程2
x 1y 即)0y (1y x 22 代入被积函数，
得
L L 2
2ds 1ds )y x (
5、设L 为椭圆13
y 4x 2
2 ，其周长为a ，则 L 22ds )y 4x 3xy 2( (1998，数一，3
分)
【解析】
将积分曲线方程13
y 4x 2
2 即12y 4x 322 代入被积函数，得 a 12ds 12ds )y 4x 3(L L 2
2
由于L
关于x 轴对称，函数xy 2关于变量y 为奇函数，
所以0xyds 2L
所以a 12ds )y 4x 3xy 2(L 22。