1 引言
本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要 的计算方法。
1.1 第二类曲线积分的概念
介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的 第二类曲线积分的定义。
1.2 第二类曲线积分的计算方法
介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法 以及利用对称性简化或计算的方法。
则
上述
记
号
可
写
成
向
量形
式:
F
d
s
.
L
2
(2) 倘若 L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,
P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) 为定义在 L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲
线 L 的第二类曲线积分,并记为
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
2.1 第二类曲线积分的物理学背景
力场 F(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)) 沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功
一质点受变力 F (x, y)的作用沿平面曲线 L 运动,当质点从 L 之一端点 A 移动到另一端 B 时,
求力 F (x, y)所做功W .
大家知道,如果质点受常力 F 的作用从 A 沿直线运动到 B ,那末这个常力 F 所做功为
P(x, y)dx + Q(x, y)dy 或 P(x, y)dx + Q(x, y)dy
L
AB
也可记作
P(x, y)dx + Q(x, y)dy 或 P(x, y)dx + Q(x, y)dy
L
L
AB
AB
注 ： (1)
若记
F (x,
y)
=
(P(x,
y), Q( x,
y))
,
ds
=
(dx, dy)
i =1
i=1
i=1
求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.
2.2 第二型曲线积分的定义
设 P(x, y) , Q(x, y) 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线 LAB 上的函数,对 LAB 任一
分割T ,它把 LAB 分成 n 个小弧段 M i−1M i (i = 1, 2,, n) ；其中 A = M 0 , B = M n .记各个小 弧 段 M i−1M i 弧 长 为 si , 分 割 T 的 细 度 为 T = m1iaxn {Si } , 又 设 T 的 分 点 的 坐 标 为 M i (xi , yi ) ,并记 xi = xi − xi−1, yi = yi − yi−1 , (i = 1, 2,, n) .
( ) 在每个小弧段 M i−1M i 上任取一点 i ,i ,若极限
n
n
lim
T →0
i=1
P(i
,i
)xi
+
lim
T →0
i=1
Q( i
,i
)yi
存在且与分割 T 与点 (i ,i )的取法无关,则称此极限为函数 P(x, y) , Q(x, y) 在有向线段
LAB 上的第二类曲线积分,记为
( ) ( ) 小曲线段 M i−1M i 上所作的功 Wi F( ,i ) LMi−1Mi = P i ,i xi + Q i ,i yi
其 中( i , j ) 为小曲 线段 M i−1M i 上任一 点,于 是力 F (x, y) 沿 L 所 作的功可 近似等 于
n
n
n
Wi = Wi P(Si ,i )xi + Q(si ,i )yi 当 T → 0 时,右端积分和式的极限就是所
成 n 个有向小曲线段 M i−1M i (i = 1, 2,, n) ,记
小曲线段 M i−1M i 的弧长为 Si .则分割
T = {A0 , A1,....., An−1, An}的细度为 T = m1iaxn {Si }.
设力 F (x, y)在 x 轴和 y 轴方向上的投影分别为 P(x, y)
L
按照这一定义 , 有力场 F(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)) 沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的
功为W = Pdx + Qdy .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分 AB
有
= − ,定积分是第二型曲线积分中当曲线为 x 轴上的线段时的特例.可类似地考
第二类曲线积分的计算
作者：钟家伟
指导老师：张伟伟
摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，
参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。
关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分
AB
BA
虑空间力场 F(x, y, z) = (P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z))沿空间曲线 LAB 所作的功. 为
空间曲线 LAB 上的第二型曲线积分
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz . AB
2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念
W = F AB . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?
为此,我们对有向曲线 L 作分割 T = {A0 , A1,....., An−1, An} ,即在 AB 内插入 n −1 个分点
M1, M 2 ,....., M n−1, 与 A = M 0 , B = M n 一起把曲线分
1
与
Q(x, y)
,那么=
(P(x, y),Q(x, y))
= P(x, y)i + Q(x, y) j
由于
M i−1 (xi−1, yi−1 ), M i (xi , yi ), 则有向小曲线段 M i−1M i (i = 1, 2,, n) 在 x 轴和 y 轴方向
( ) 上的投影分别为 xi = xi − xi−1与 yi = yi − yi−1 .记 LMi−1Mi = (xi , yi ) 从而力 F x, y 在
设函数在平面 P(x，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点
Mi ( Xi ,Yi )(i = 0,1, 2 n) 将曲线 L 从起点 A 到 B 分为 n 个有向小弧的长度 (i ,i ) li ，
n
n
作和式