vj v
vk
(x,y) u uj
uk
将顶点坐标带入上式求出各系数，即可得到单元内各点 位移的转换式：
o
x
f[N]e 此式反映出单元内各点的位移和节点位移之间的关系。
单元内任意点 的位移矩阵
形函数矩阵
[B]e
单元节点 位移矩阵
此式反映出单元变形与节点位移之间的关系。
单元应变
单元应变矩阵
[D ]B []e
各节点的受力情况
简化后的模型中各节点的位移u 可以用静力学平衡法和有限元两 种方法求解。
节点1 节点2 节点3 节点4 节点5
R1 k1(u2 u1) k1(u2 u1) k2 (u3 u2 )
k2 (u3 u2 ) k3 (u4 u3 )
k3 (u4 u3 ) k4 (u5 u4 ) k4(u5 u4) P
离散后的变截面模型可看做四个弹簧串联组成的模型。
u1 u2 u3 u4 u5
P
F A
l l
E
F AE l l
k eq
AE l
第一节有限元法概述
离散后的变截面模型可看做四个弹簧串联组成的模型。
u1 u2 u3 u4 u5
P
F A
l l
E
F AE l l
k eq
AE l
第一节有限元法概述
第一节有限元法概述
2.有限元方法中的前处理和后处理
有限元前处理包括：选择采用单元的类型；单元的划分；确定各单元 及其节点的编号与坐标；确定载荷类型、边界条件、材料性质等。
利用有限元分析求出节点位移、应力或温度之后，由于节点数目非常 多，输出数据量极大，且容易出错，也不直观。因此，需要有后处理程序 来自动处理这些分析结果，并根据不同需要将分析结果以不同的方式显示 出来。
节点5 k 4 (u5 u 4 ) P 0
第一节有限元法概述
静力学平衡法求解
静
力 学
k1 k1
0
0
0 u1 R1
平 衡
k1 k1k2 k2
0
0 u2
0
方 程 的 矩
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
阵 形
0
0
0
k4 k4 u5 P
式
第一节有限元法概述
第一节有限元法概述
科学技术领域的许多工程分析问题由于求解对象的集合形状比较 复杂或问题的非线性，在给定边界条件下求解控制方程时，无法得到 问题的精确解析解，利用计算机技术采用数值计算方法求解，可以获 得问题的近似解。目前常用的数值分析计算方法有：有限元法、边界 法和有线差分法。
有限元方法（FEM）是处理复杂工程问题的一种常用数值计算方法，它将一 个形状复杂的连续体分解为有限个形状简单的单元，通过离散，把求解连续 体应力、应变、温度等问题转化为求解有限个单元的问题。 有限元法已成为结构分析、应力应变分析、热传导分析、流体运动分析、电 磁场分析的重要工具，它是计算机时代的产物，众多的单元求解与综合只能 在计算机上才能实现。
第一节有限元法概述
1.有限元法原理
利用有限元分析应力应变流程图
物体定义
属性特征定义
实体造型及其属性特征
网格自 动生成
FE网格
分析计算
结果分析
误差范围
精度校核
应力应变显 示与输出
第一节有限元法概述
1.有限元法原理
a.确定初始条件
通常用户在实体造型系统中定义所要分析的结构，并确定被分析结构的边界 条件、载荷、材料特征和分析参数等属性特征，作为有限元分析的初始条件。
第一节有限元法概述
3.实例
如图所示的变截面杆，上端宽W1，下端宽W2，杆的厚度为T，长度为 L。杆的一端固定，另一端承受负载P，杆的弹性模量为E，求杆自由端的 位移。
W1
L y
W2 P
第一节有限元法概述
将杆离散成五个节点四个单元的有限元模型。
1
E1
u1
2 3
E2
u2
E3
u3
4
E4
u4
5
u5
P
第一节有限元法概述
单元应力
弹性矩阵
Fe[K]ee 此式反映出节点力和节点 位移的关系。 单元刚度矩阵
第一节有限元法概述
1.有限元法原理
d.整体综合
整体综合是对各个单元组成的整体进行分析。目的是要建立起一个线性方程组（整体刚度方 程）来揭示节点外载荷与节点位移的关系，从而用来求解节点位移。整体综合依据的原则是：所 有相邻单元在公共节点上的位移相等；每个节点上节点力与节点载荷保持平衡。
第一节有限元法概述
1.有限元法原理
c.单元分析 将连续体离散成微小的单元后，在每个小单元范围内，就可以用简单
的位移函数来描述单元内各点的位移，并可进一步求出单元体内应力和应 变的分布情况。
以平面三角形单元为例进行单元分析
y
vi
ui
单元内各点的位移可用6个待定系数的多项式近似为：
u(x,y)01x2y v(x,y)01x2y静力平衡法求解R1 k1 k1
0
0 0 u1 0
反
0
k1
k1k2
k2
0
0 u2 0
作 用 力 的 表
0 0
0
0
0 0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3k4
0k4uu4300
0
0
k4 k4 u5 P
达
式
单元刚度矩阵
节点位移矩阵 作用力矩阵
建立整体刚度矩阵的工作包括集成整体结构的总刚度矩阵和集成总的载荷矩阵，其中节点载 荷包括作用在节点上的载荷和等效到节点上的载荷。
F[K]
结构节点载荷列阵
结构整体刚度矩阵
结构节点位移列阵
第一节有限元法概述
1.有限元法原理
e.约束条件的引入与方程求解
整体结构刚度矩阵是奇异的，方程组的解不唯一，引入反映物体与边界支承的 关系后，就可求出节点的位移进而分局物理方程求出各单元的应力。
第一节有限元法概述
1.有限元法原理
b.离散化
将由无限个质点构成的连续体转化为有限个元素集合体的过程，成为离散化。结构 离散化时，选用的形状元素和元素大小取决于被分析结构的几何形状、边界条件。精度 要求即描述该结构所必须的独立空间坐标数。
离散后的元素之间仅在节点处连接，元素间的力只通过节点传递，因此，载荷只加在节点上， 如果划分网格时，外载荷不作用在节点上，则需通过静力学的等效原理进行移置，或重新离散化， 生成新的网格。
第一节有限元法概述
静力学平衡法求解
节点1 R1 k1 (u 2 u1 ) 0
静 节点2 k1 (u 2 u1 ) k 2 (u3 u 2 ) 0
力
学 平
节点3 k 2 (u3 u 2 ) k3 (u 4 u3 ) 0
衡
方 程
节点4 k3 (u 4 u3 ) k 4 (u5 u 4 ) 0