八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念
一、知识结构：
1、三角形的定义；
2、三角形的角平分线、中线、高；
3、三角形的三边之间的关系；
4、三角形的内角和定理及其推论；
5、同一个三角形中边与角之间的关系；
6、三角形的分类； 二、典型例题：
1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2
c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( ) A.三边不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,2
2
2
ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( ) A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ） A 、17 B 、22 C 、12或22 D 、20 4、下面四个命题中不正确的是（ ）
A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60°
B ．在△AB
C 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形； C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180°
D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多；
5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长；
6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线， 且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数；
7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？
8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数； A
B D F C
9、已知三角形的一边是另一边的3倍，求证：它的最小边在它的周长的81与6
1
之间；
10、已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有多少个？
11、设△ABC 的三边a,b,c 的长度均为自然数，且a ≤b ≤c ，a+b+c=13,则以a,b,c 为三边长且彼此不全等的三角形共有多少个？
12、有多少个边长为整数且周长为2000的等腰三角形？
13、三角形的三个内角分别为α，β，γ，且α≥β≥γ，α=2γ，求β的取值范围；
14、已知三角形中两角之和为n °，最大角比最小角大24°，求n 的取值范围；
15、不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是（ ） A ．143<<k B ．131<<k C ．1＜k ＜2 D ．12
1
<<k
16、如图：O 为△ABC 内的一点，求证：
（1） OA+OB+OC ＞
2
1
（AB+BC+AC ）； （2） OB+OC ＜AB+AC ； （3） OA+OB+OC ＜AB+AC+BC ； 作业题：
1、已知三角形两边的长的差是5，若此三角形的周长是偶数，则求第三边的最小值？
2、将三边长为a 、b 、c 的三角形记作（a ，b ，c ），写出周长为20、各边长为正整数的所有不同的三角形；
3、不等边三角形的三条边长都是自然数，其中两条边长是3、
4、5中的某两个数，求符合条件的三角形的周长的所有不同数值；
4、如图，△ABC 内有一点D ，AD 、BD 、CD 分别平分∠A 、∠B 、∠C ，E 为△ABD 内一点，AE 、BE 、DE 分别平分△ABD 的各内角；F 为△BDE 内一点，BF 、EF 、DF 分别平分△BDE 的各内角。

若△BFE 的度数为整数，试求∠BFE 至少是多少度？ A
O
B C
5、如图，将任意△ABC 的三边四等分，BC 边上分点为321,,A A A ，AC 边上的分点为321,,B B B ，
AB 边上的分点为321,,C C C ，记△ABC 的周长为p ，111C B A ∆的周长为1p ，求证：p p p 4
3
21
1<
<；
6、三条线段能构成三角形的条件是:任意两条线段长度的和大于第三条线段。

现有长为144厘米的铁丝，要截成n 小段（n ＞2），每段的长度不小于1厘米，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值是多少？
7、△ABC 面积为1，M 是AB 上任一点，N 是BC 上任一点，P 是MN 上任一点。

（1）将ABC AMP S S ∆∆:表示成图中已经给出的线段之比的乘积形式； （2）求证：△AMP 和△CPN 的面积中至少有一个不大于8
1
； B M P N A C
8、不等边△ABC的两条高的长度分别是4和12，若第三条高及三边均为整数，求当第三条高取得最大值时，△ABC周长的最小值；。