第七讲 二次根式的运算
式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )； (3)
b
a
b a =
(0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542
4
52
22+-----=
x
x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题)
思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．
注： 二次根式有如下重要性质：
(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；
(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．
【例2】 化简2
2
)
1(111++
+
n n
，所得的结果为（ ）
A ．1111++
+
n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1
1
11+--n n (武汉市选拔赛试题)
思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．
【例3】计算： （1）
)
23)(36(23346++++；
（2）
2115141021151410+--+； （3）
49
47474917
5571
5
33513
31+++++
++
+ ；
1
32518
2336210153+++-+--．
思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口． 【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算1212--+-+a a a a ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，此外，由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．
【例5】 已知52
1
332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值．
(山东省竞赛题)
思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．
学历训练 1．如果22332+-+-=x x y ，那么y x 2+= ． (四川省竞赛题) 2．已知3=xy ，那么y
x
y
x y x
+的值为 ． (成都市中考题) 3．计算2001)13(2)13(2)13(199920002001++-+-+= ．(天津市选拔赛试题)
4．若 ab ≠0，则等式ab b
b
a -=
--3
5
1飞成立的条件是 ．(淄博市中考题)
5．如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( )
A ．x ≤1
B ．x ≥2
C ．1≤x ≤2
D ．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子a
a --
-11
)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1 7．已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则
y
xy x y xy x 4353-++-的值为( )
A ．3
1 B ．
21 C ．3
2
D ．43 8．已知3
21
+=a ，那么a a a a a a -+--+-2221
211的值等于（ ） A ．)321(+- B ．1- C ．32- D ．3 9．计算：
(1)12002200120001999+⨯⨯⨯；
（2）7221756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-； (北京市数学竞赛题) （3）42
66777647511+++++；
（4）
)
19992001()19972001(2001
)
20011999)(19971999(1999
)
20011997)(19991997(1997
--+
--+--
(“希望杯”邀请赛试题)
10．(1)已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值； (2)设n
n n n x ++-+=
11，n
n n n y -+++=
11，n 为自然数，如果199********=++y xy x 成立，
求n ．
11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
（1）问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：4.12≈，7.13≈) (贵阳市中考题)
12．已知2
323+-=
x ，2
323-+=
y ，那么
2
2
y
x x
y +
= ．(T1杯全国初中数学联赛题)
13．若有理数x 、y 、z 满足)(2
1
21z y x z y x ++=
-+-+，则2)(yz x -= ． (北京市竞赛题)
14．设b a +=-21027，其中a 为正整数，b 在0，1之间，则
b
a b
a -+= ． 15．正数m 、n 满足34424=+--+n n m mn m ，则
2002
282++-+n m n m = ．
(北京市竞赛题)
16．化简212172232-+-等于( )
A ．5—42
B ．42一1
C ． 5
D ．－1 (全国初中数学联赛题) 17．若x x +=-11，则2)1(-x 等于( ) A 1-x B ．x -1 C ．1 D ．－1 (2004年武汉市选拔赛试题)
18．若b a b a b a -≠、、,都是有理数，那么a 和b 面( ) A ．都是有理数 B ．一个是有理数，另一个是无理数 C ．都是无理数 D ．有理数还是无理数不能确定 (第13届“希望杯”邀请赛试题) 19．下列三个命题：
①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；
②若α，β是互不相等的无理数，则β
αβ
α+-是无理数；
③若α，β是互不相等的无理数，则3βα+是无理数． 其中正确命题的个数是( )
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．3 (全国初中数学联赛试题) 20．计算： （1）
3
426302352+--+； （ “希望杯”竞赛题）
（2）
2356
101528-+--+； （山东省竞赛题）
（3）
100
99991001
3
2231
2
1121+++++
+ ；（四川省选拔赛题）
(4))1552326(2+--；
(5)
2231
52
525--+-+
+． (新加坡中学生数学竞赛题)
21．(1)求证1
1)1(12
22
2
+-
+
=++
+
ab a
b a ab a b a ； (2)计算2000
1
20001999199912
22
-
+
+．（“祖冲之杯”邀请赛试题） 22．(1)定义32
323
21
21121
)(+-+-+++=x x x x x x f ，求)999()12()3()1(f k f f f +-+++ 的
值；
(2)设x 、y 都是正整数，且使y x x =++-100116，求y 的最大值． (上海市竞赛题 )
23．试将实数)71)(51(211+++改写成三个正整数的算术根之和． (2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
24．求比6)56(+大的最小整数． (西安交通大学少年班入学试题)。