2015 高考数学专题十四：数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题2015 高考数学专题十四：数形结合思想（教师版含 13 、 14 年高考题）数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；(4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题，可通过函数的图象求解 (函数的零点、顶点是关键点 )，做好知识的迁移与综合运用．热点一利用数形结合思想讨论方程的根例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) ＝| x－ 2| ＋1 ，g (x) ＝kx ，若方程 f (x) ＝g (x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ()11A．(0 ， )B．( ，1)22C． (1,2) D ．(2 ，＋∞)答案B解析先作出函数 f (x )＝ |x －2| ＋1 的图象，如图所示，当直线 g ( x )＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ，当直线 g ( x )＝kx 过 A 点时斜率1k 的范围为 (1为，故 f (x) ＝g (x) 有两个不相等的实根时，，1) ．22思维升华用函数的图象讨论方程 ( 特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 )的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 ) ，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．x 2＋bx ＋c，x ≤0 ，训练 1（1）设函数 f (x )＝若 f (－4)＝f (0)， f (－2)＝2 ， x>0 ，－ 2，则关于 x 的方程 f (x ) ＝x 的解的个数为 ()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由 f( －4) ＝f(0) ， f( －2) ＝－ 2 ，x 2＋4 x ＋2 ，x ≤0 ，解得 b ＝4 ， c＝ 2，∴f (x) ＝2 ， x>0.x 2＋4x ＋ 2 ，x ≤0 ，作出函数 f (x ) ＝与y ＝ x的图象，如图，2 ， x >0由图知交点个数有 3 个，故选 C.（2 ）若定义在R上的函数 f (x )满足 f ( x＋2)＝f (x )，且x∈ [－1,1]时，lg x ，x >0 ，0，x ＝0 ，f (x) ＝1 －x 2，函数 g(x )＝则函数h (x)＝f (x )－g (x)在区间1－，x<0 ，x[ －5,5] 内零点的个数是 ()A ．5B． 7C．8D．10[ 解析 ]依题意得，函数f (x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数 y ＝f (x)与函数 y＝ g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[ －5,5] 时，它们的图象的公共点共有8 个，即函数 h(x )＝ f(x) －g (x) 在区间 [ － 5,5] 内的零点的个数是8.[答案] C热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2(1)已知奇函数 f x的定义域是x x ≠，x∈R}，且在(0，＋∞上单调递( ){ |0)增，若 f(1)＝0 ，则满足 x ·f(x)<0的 x 的取值范围是．1(2)若不等式 | x －2 a| ≥ x ＋a－1 对 x ∈ R 恒成立，则 a 的取值范围是．2答案(1)( －1,0) ∪ (0,1)1(2) －∞，2解析 (1) 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f x )<0的 x 的( 取值范围是 (－ 1,0) ∪(0,1) ． (2)1 1作出 y ＝| x －2a| 和 y ＝ x ＋a － 1 的简图，依题意知应有 2a ≤2－ 2a ，故 a ≤ .2 2思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象， 根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．训练 2(1) 设 A ＝{( x ，y )| x 2 ＋ (y －1) 2 ＝1} ，B ＝{( x ，y )| x ＋y ＋m ≥0} ，则使A? B 成立的实数 m 的取值范围是 ．(2) 若不等式9 －x 2≤k (x ＋2) － 2 的解集为区间 [ a ， b ] ，且 b － a ＝ 2 ，则 k＝ ________.答案(1)[ 2－1，＋∞) (2) 2解析(1)集合 A 是一个圆 x 2 ＋( y － 1) 2＝1 上的点的集合， 集合 B 是一个不等 式 x ＋y ＋m ≥0 表示的平面区域内的点的集合，要使 A? B ，则应使圆被平面区域所包含 ( 如图 ) ，即直线 x ＋ y ＋ m ＝0 应与圆相|m ＋ 1|切或相离 (在圆的下方 )，而当直线与圆相切时有＝1，又m >0，2所以 m ＝ 2 －1 ，故 m 的取值范围是 m ≥ 2 － 1.(2)令 y1＝ 9－ x 2，y 2＝k (x ＋2) － 2 ，在同一个坐标系中作出其图象，因 9 －x 2≤k(x ＋ 2) － 2 的解集为 [a，b ] 且 b － a＝ 2.结合图象知 b ＝3 ，a ＝ 1，即直线与圆的交点坐标为(1,22) ．又因为点 (－2，－2) 在直线上，2 2 ＋2所以 k ＝＝ 2.1 ＋2热点三利用数形结合思想解最值问题例 3 (1) 已知 P 是直线 l： 3x ＋ 4y ＋8 ＝0 上的动点， PA 、PB 是圆 x 2＋y 2－2x －2y ＋1 ＝0 的两条切线， A 、B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为．x－ 2y ＋ 1≥0，(2) 已知点 P(x ，y)的坐标 x ，y 满足则x2＋y2－6 x＋9的取|x| － y－ 1≤0，值范围是 ()A ． [2,4]B．[2,16]C． [4,10] D ．[4,16]答案(1)2 2(2)B解析(1)从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x＋ 4 y＋ 8＝ 0 向左上方或右下方无11穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 S Rt△PAC＝ |PA| ·|AC |＝ | PA| 越来越大，22从而 S 四边形PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线 l 时， S 四边形 PACB 应有唯一的最小值，此时 |PC| ＝|3 ×1＋4×1＋8|＝ 3 ，32＋42从而 |PA|＝| PC| 2－|AC |2＝2 2.1所以 (S 四边形PACB )min＝2× ×|PA|×| AC|＝2 2.2(2)画出可行域如图，所求的 x2＋y 2－ 6x ＋ 9＝ (x －3) 2＋ y 2是点 Q(3,0) 到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为 Q 到射线 x －y －1 ＝0( x ≥0) 的距离 d 的平方，最大值为 |QA |2＝16.|3 －0－1|∵d 2＝()2＝( 2) 2＝2.12＋－12∴取值范围是 [2,16] ．思维升华(1) 在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果 (不 )等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013 ·重庆)设 P 是圆 (x －3) 2＋(y ＋1) 2＝4 上的动点，Q 是直线x ＝－ 3 上的动点，则 |PQ | 的最小值为 ()A．6 B．4 C．3 D．2x －y ＋ ≤ ，1 0(2) 若实数 x 、y 满足 x>0 ，y则 的最小值是 ______．y ≤2 ， x答案(1)B (2)2解析 (1) 由题意，知圆的圆心坐标为 (3 ，－ 1) ，圆的半径长为 2 ，|PQ | 的最小值为圆心到直线 x ＝－ 3 的距离减去圆的半径长， 所以 | PQ|min ＝3 －( －3) － 2＝4. 故选 B.(2) 可行域如图所示．y又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.x由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小．x － y ＋ 1＝ 0 ，联立得 A (1,2) ，y ＝ 2，2 －0 y所以 k OA ＝ ＝2. 所以 的最小值为 2.1－ 0 xa 2－ab ，a ≤b ，模拟演练 5对于实数 a 和 b ，定义运算“* ”：a * b ＝ 设b 2 －ab ，a> b .f (x) ＝(2 x －1)*( x － 1) ，且关于 x 的方程 f (x ) ＝m (m ∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x 1 ，x 2 ， x 3 ，则 x 1x 2 x 3 的取值范围是．[ 解析 ](1) 由定义可知，2x －1x， x ≤0 ，f(x)＝－x －1 x ，x >0.作出函数 f (x) 的图象，如图所示．1由图可知，当 0< m <时，4f(x)＝ m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2， x3 .不妨设 x 1 < x2 < x 3，易知 x 2 >0 ，1且 x2＋x 3＝ 2 ×＝ 1 ，21∴x 2x 3 <.412x －1 x＝，令4x<0 ，1 － 3 1 ＋3解得 x ＝或 x ＝(舍去)．441 － 3 1 －3∴< x 1<0 ，∴< x1 x 2 x 3 <0.4161 －3[答案] (，0)164．运用数形结合思想解决解析几何中的问题在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析) 在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．【例 6】已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x －2y ＋1 ＝ 0 的两条切线， A ，B 是切点， C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值．【解】根据题意，画出图形如下图，当动点 P 沿直线 3 x ＋4y ＋8 ＝0 向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt △11PAC 的面积 S Rt△PAC＝ |PA| ·|AC| ＝ | PA|越来越大，从而S 四边形PACB也越来越22大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 3x ＋4y ＋8 ＝0 时， S 四边形PACB应有唯一的最小值，|3 ×1＋4×1＋8|此时|PC|＝＝3，32＋42从而| PA| ＝|PC|2－|AC| 2＝2 2.1∴(S 四边形PACB ) min＝2 × ×| PA|×| AC| ＝2 2.2规律总结：1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式 (或向量的模 )；点到直线的距离公式等．练习题真题感悟1 ．(2013 ·重庆)已知圆 C1：(x － 2) 2＋(y － 3) 2＝ 1，圆 C2：(x －3) 2＋(y－ 4) 2＝ 9， M ，N 分别是圆 C1，C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 | PM |＋ |PN |的最小值为 ()A．5 2 －4 B.17 －1C．6－2 2 D.17答案A解析设 P(x, 0) ，设 C1 (2,3) 关于 x 轴的对称点为 C1′(2 ，－3) ，那么 |PC1 |＋| PC2|＝|PC1′|＋|PC2| ≥|C1′C2| ＝2 －32＋－3－42＝5 2.而|PM | ＋|PN | ＝| PC1|＋|PC2| －4≥52－4.2 ．(2014 ·江西)在平面直角坐标系中， A ， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x ＋y －4 ＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ()4 3A. πB. π5 45C． (6 －2 5) π D. π4答案A解析∵∠AOB ＝90 °，∴点O 在圆 C 上．设直线 2x ＋y － 4＝ 0与圆 C相切于点 D，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x ＋ y －4 ＝0的距离，∴点 C 在以 O 为焦点，以直线 2 x＋ y －4 ＝0 为准线的抛物线上，∴当且仅当 O，C，D 共线时，圆的直径最小为 | OD |.|2 ×0＋0－4|4又|OD |＝＝5，5∴圆 C 的最小半径为2，5∴圆 C 面积的最小值为π (24)2＝π.55－x 2＋2x ，x ≤0 ，3 ．(2013 ·课标全国Ⅰ) 已知函数 f (x ) ＝若| f(x )| ≥ax ，则ln x ＋1， x>0.a 的取值范围是 ()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[－2,1] D．[ －2,0]答案D解析函数 y ＝| f (x)| 的图象如图．①当 a＝0 时， | f (x)| ≥ax 显然成立．②当 a>0 时，只需在 x >0 时，ln( x ＋1) ≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在 a>0 使 ln( x ＋ 1) ≥ax 在 x >0 上恒成立．③当 a<0 时，只需在 x <0 时， x 2－2x ≥ax 成立．即 a≥x － 2 成立，所以 a≥－2.综上所述：－ 2≤a ≤0. 故选 D.4 ．(2014 ·天津)已知函数 f (x) ＝| x 2＋3x |， x ∈ R.若方程 f(x) －a|x －1| ＝0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为．答案(0,1) ∪ (9 ，＋∞ )解析设 y 1＝f (x) ＝| x2＋3x|，y 2＝a| x －1| ，在同一直角坐标系中作出y 1＝ |x 2＋ 3 x| ，y 2＝ a| x －1| 的图象如图所示．由图可知 f(x )－a| x － 1| ＝0 有 4 个互异的实数根等价于 y 1＝| x 2＋ 3x| 与 y 2＝ a| x － 1| 的图象有 4 个不同的交点，且 4 个交点的横坐标都小于 1 ，y ＝－ x 2－ 3x ，所以有两组不同解．y ＝ a1－ x消去 y 得 x 2＋ (3 －a)x ＋ a＝ 0 有两个不等实根，所以＝(3－a)2－4a>0，即a2－10 a＋9>0，解得 a<1 或 a>9.又由图象得 a>0 ，所以 0< a<1 或 a>9.押题练习1 ．方程 |x 2－2x|＝a 2＋1( a>0) 的解的个数是 ()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析( 数形结合法 )∵a>0 ，∴a2＋ 1>1.而 y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝| x2－2 x|的图象与 y ＝a 2＋ 1 的图象总有两个交点．2 ．不等式 | x＋ 3| －| x －1| ≤a2－3 a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ()A．(－∞，－ 1] ∪[4 ，＋∞) B．(－∞，－ 2] ∪[5 ，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1] ∪[2 ，＋∞)答案A－4x < －3，解析 f (x) ＝|x ＋ 3| －| x －1| ＝2x ＋2－3 ≤x <1 ，画出函数 f (x )4x≥1 .的图象，如图，可以看出函数 f (x ) 的最大值为 4 ，故只要 a2－3 a≥4 即可，解得a≤－1 或 a≥4. 正确选项为 A.3 ．经过 P(0 ，－ 1) 作直线 l，若直线 l 与连接 A (1 ，－2) ，B(2,1) 的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角α的取值范围分别为，________.答案 [ －1,1]π 3 π[0， ]∪[，π)44解析如图所示，结合图形：为使 l 与线段 AB 总有公共点，则 k PA≤k ≤k PB，而 k PB>0 ，k PA <0 ，故 k <0 时，倾斜角α为钝角， k ＝ 0 时，α＝ 0， k >0 时，α为锐角．－2－－1又 k PA＝＝－1，1－0－1 －1k PB＝＝1，∴－1≤k≤1.0－2π又当 0 ≤k ≤1 时， 0≤α≤；4当－ 1 ≤k<03 ππ 3 π时，≤α< π.故倾斜角α的取值范围为α∈ [0 ，] ∪[，π) ．4442x ＋ 3y －6 ≤0 ，4 ．(2013 ·山东)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组x ＋ y －2 ≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是．答案2解析由题意知原点 O 到直线 x ＋y －2 ＝0 的距离为 | OM |的最小值．2所以 |OM |的最小值为＝ 2.25 ．(2013 ·江西)过点 ( 2 ，0) 引直线 l 与曲线 y ＝ 1 － x 2相交于 A 、 B 两点，O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为．3答案－3111解析∵S△AOB＝|OA || OB |sin ∠AOB ＝ sin ∠AOB ≤ .222π当∠AOB ＝时，S△AOB面积最大．22此时 O 到 AB 的距离 d ＝.2设 AB 方程为 y ＝k (x －2)( k <0) ，即 kx － y －2k ＝0.| 2 k |23由 d ＝＝得 k ＝－.k 2＋123x 2y 26. [2014 ·四川高考] 已知椭圆 C：＋b 2＝1( a> b >0) 的左焦点为 F(－2,0) ，a26离心率为.3(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点， T 为直线 x ＝－ 3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于P，Q .当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积．c6[ 解 ] (1) 由已知可得，＝， c＝ 2 ，所以 a＝ 6.a3又由 a2＝b 2＋c 2，解得 b ＝ 2 ，所以椭圆 C 的标准方程是x 2y2＋＝1. 62(2) 设 T 点的坐标为 ( －3 ，m ) ，则直线 TF 的斜率 k TF＝m －0＝－－3 －－2m .1当 m ≠0 时，直线 PQ 的斜率 k PQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.m当 m ＝0 时，直线 PQ 的方程是 x＝－ 2 ，也符合 x ＝ my －2 的形式．设 P(x 1，y 1 ) ，Q(x2，y 2) ，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得x＝my － 2，x 2y 2＋＝ 1.62消去 x ，得 (m 2＋3) y 2－4my －2 ＝0.其判别式＝16 m 2＋8( m 2＋ 3)>0 ，4m－2所以 y 1＋y 2＝，y 1 y 2＝，m 2＋3m 2＋3－ 12x 1＋x 2＝m (y 1＋ y2 )－ 4＝.m 2＋3因为四边形 OPTQ 是平行四边形，→→所以 OP＝ QT ，即 (x 1，y 1 )＝( －3 －x 2，m － y2 )．－12x 1＋x 2＝＝－ 3，m 2＋3所以解得 m ＝± 1.4my 1＋y 2＝＝m ，m 2＋3此时， S 四边形OPTQ＝2S△OPQ1＝2 × ·|OF| ·|y 1－ y 2|24m－ 2＝22－4·＝2 3.m 2＋3m 2＋ 3f x，x ≤0 ，17 ．设函数 F(x) ＝x，x >0 ，其中 f(x) ＝ax 3－ 3ax ，g (x) ＝ x 2－g2 ln x，方程 F(x)＝a 2有且仅有四个解，求实数 a 的取值范围．[ 解 ] x ∈ (0,1)11时， g ′(x)＝ x － <0 ， x ∈(1 ，＋∞ ) 时， g ′(x) ＝ x－>0 ，x x1所以当 x＝ 1 时， g (x )取极小值 g(1) ＝ .2(1)当 a ＝0 时，方程 F(x) ＝a 2不可能有 4 个解；(2)当 a<0 时，因为 f ′(x ) ＝3a(x 2－ 1) ，若 x ∈( －∞，0] 时， f ′(x) ＝3a(x 2－1) ，当 x ∈( －1,0] 时， f ′(x)>0 ，当 x ∈( －∞，－ 1) 时， f ′(x)<0 ，所以当 x＝－ 1 时， f (x)取得极小值 f (－ 1) ＝2 a，又 f(0) ＝ 0，所以 F(x )的图象如图 (1)所示，从图象可以看出F(x )＝ a2不可能有 4 个解．(3)当 a>0 时，当 x ∈( －∞，－ 1) 时，f ′(x )>0 ，当 x∈ (－ 1,0] 时，f ′(x )<0 ，所以当 x ＝－ 1 时， f ( x )取得极大值 f ( －1) ＝2 a，又 f (0) ＝0 ，所以 F(x ) 的图象11如图 (2) 所示，从图象看出方程F(x ) ＝a2若有 4 个解，则< a2 <2 a ，且 2a>，22所以实数 a 的取值范围是2，2 . 2。