函
数的奇偶性与周期性 提高精讲 奇函数 偶函数 定义
如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x 都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数 都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数 特点 图象关于原点对称 图象关于y 轴对称
1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数
2.奇偶函数常用结论：
(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
4.周期函数常见结论：
(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a .
(2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a .
(3)若f(x+a)=()
x f 1 (a>0),则函数的周期为2a . (4)若f (x ＋a )＝－()
x f 1，则函数的周期为2a . 5.对称函数
如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2
a b x +=对称. 练习：1. 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝________. 2. 若函数f (x )＝x ?x －2??x ＋a ?
为奇函数，则a ＝( ) 3. 已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )
A ．－13
B 13
D ．－12
【难点一 奇偶性与不等式】
1. 若函数f (x )＝2x ＋12x －a
是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C (0,1)
D ．(1，＋∞) 【难点二 求解析式】
1. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )
A ．e x －e －x (e x ＋e －x ) (e －x －e x )
D 12(e x －e －x ) 2. 若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.
3. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．
4. 设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )
A ．{x |x <－2或x >4}
B {x |x <0或x >4}
C ．{x |x <0或x >6}
D ．{x |x <－2或x >2}
【难点三 奇偶性与周期性综合】
1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( )
A 0
B ．3
C ．4
D ．6
2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A a >b ＝c
B ．b >a ＝c
C ．b >c >a
D ．a >c >b
3. 设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝
2a －3a ＋1，则实数a 的取值范
围是________．
【难点四 奇偶性、对称性、周期性】
1. 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2013)＋f (2014)的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D 1 2. 定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)
＝( )
A －1 C ．1 D ．－45
【终极难度定义证明、赋值法、求参数】
1. 定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．
(1)判断k为何值时f(x)为奇函数，并证明；
(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
2. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－2.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)求f(x)在区间[－3,3]上的值域；
(4)若?x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)<f(x)＋4恒成立，求a的取值范围．
跟踪练习
1. 已知函数=-=+-=)(.)(.11lg
)(a f b a f x x x f 则若 A ．b B ．－b C ．
b 1 D ．－b 1 2. 已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，求：0<x 时，)(x f 的解析式
3. 定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围.。