* 上海 2012-2015 高考填选难题解析2015 年13.（理）已知函数 f (x ) = sin x ，若存在 x 1 、 x 2 、…、 x m 满足 0 ≤ x 1 < x 2 < ... < x m ≤ 6π ，且 | f (x 1 ) - f (x 2 ) | + | f (x 2 ) - f (x 3 ) | +...+ | f (x m -1) - f (x m ) | = 12 (m ≥ 2, m ∈ N的最小值为；【解析】根据题意，| f ( x m -1 ) - f ( x m ) | ≤ 2 ，如图所示，最少需要 8 个数) ，则m13.（文）已知平面向量 a 、b 、c 满足 a ⊥ b ，且{| a |,| b |,| c |} = {1, 2, 3} ，则| a + b + c | 的最大值是；【解析】平方后可知 c 与 a + b 同向时，取最大， 情况不是很多，可以列举法，如图可得最大值为3 + 514. 在锐角三角形 ABC 中， tan A = 1， D 为边 BC 上的点，△ ABD 与△ ACD 的面积分2别为 2 和 4，过 D 作 DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ，则DE DF ⨯u u u r u u u r =；【解析】取特殊情况 AB = AC ，根据题意 DC = 2DB ， 设 DB = a ，则 DC = 2a ，∵ tan A = 1 ，∴ tanA=5 - 22 23( 5 + 2)a 4可表示高 h = ，∵△ ABC 面积为 6，∴ h =2 a即 4 = 3( 5 + 2)a ，解得 a 2 = 8( 5 - 2) ， DE = a sin B a 2 3DF = 2a sin B ，∴ DE ⋅ DF = 2a 2 sin 2 B ⋅ cos ∠EDF = 2a 2 cos 2 A ⋅ (- cos A ) = - 162 1517.（理）记方程①：x 2 + a 1 x +1 = 0 ；方程②：x 2 + a 2x + 1 = 0 ；方程③：x 2+ a 3x +1 = 0 ；其中 a 1 、 a 2 、 a 3 是正实数，当 a 1 、 a 2 、 a 3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无 实数根的是（）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根nnn【解析】A 选项，方程①有实根说明 a 2≥ 4 ，方程②有实根说明 a 2≥ 4 ，并不能推出是递12增还是递减，也就无法得出 a 2 < 4 ；B 选项， a 2 ≥ 4 ， a 2 < 4 ，说明递减，则 a 2< 4 ，3 1 2 3可推出方程③无实数根；C 、D 选项同理分析，均不对，故选 B ； 17.（文）已知点 A 的坐标为 (43,1) ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转3π至OB ，则B 点纵坐标为（）3 3 5 3 11 13 A.B.C.D.2222【解析】设 ∠AOx = θ ，∴ sin= 1， cos = 4 3 ， 7 7∴，根据题意， B 点纵坐标可表示为 7 sin( +) ，3∴ 7 s in( + ) = 7 s in ⋅ 1 + 7 c os ⋅ 3 = 133 2 2 2n*18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12-C ．1D ．2 【解析】当 n → ∞ 时，直线方程趋近于 2x - y = 1，与圆 x 2+ y 2= 2 在第一象限的交点逐 渐靠近 (1,1) ，而y n -1可看作点 P (x , y ) 与点 (1,1) 连线的斜率，这两个点是越来越靠近x n -1的，它的斜率会逐渐接近圆 x 2+ y 2= 2 在点 (1,1) 处的切线的斜率，斜率为 -1，故选 A ；a b13. 某游戏的得分为1、2 、3 、4 、5 ，随机变量ξ 表示小白玩该游戏的得分，若 E (ξ ) = 4.2 ， 则小白得 5 分的概率至少为；【解析】设得 i 分的概率为 p i ，∴ p 1 + 2 p 2 + 3 p 3 + 4 p 4 + 5 p 5 = 4.2 ，且 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1 ，∴ 4 p 1 + 4 p 2 + 4 p 3 + 4 p 4 + 4 p 5 = 4 ，与前式相减得：-3 p 1 - 2 p 2 - p 3 + p 5 = 0.2 ，∵ p i ≥ 0 ，∴ -3 p 1 - 2 p 2 - p 3 + p 5 ≤ p 5 ，即 p 5 ≥ 0.214. 已知曲线 C : x = - 4 - y 2，直线 l : x = 6 ，若对于点 A (m , 0) ，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 AP + AQ = 0 ，则 m 的取值范围为；x + x 【解析】根据题意，A 是 PQ 中点，即 m = P Q=x P + 6 ，∵ -2 ≤ x ≤ 0 ，∴ m ∈[2, 3] 2 2 P17. 已知 P 1 (a 1 , b 1 )与 P 2 (a 2 , b 2 ) 是直线 y = kx +1（ k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 ⎧a x + b y = 1 y 的方程组 ⎨1 1的解的情况是（ ）⎩a 2 x + b 2 y = 1A. 无论 k , P 1 , P 2 如何，总是无解B. 无论 k , P 1 , P 2 如何，总有唯一解C. 存在 k , P 1 , P 2 ，使之恰有两解D. 存在 k , P 1 , P 2 ，使之有无穷多解a 1b 1 【解析】由已知条件 b 1 = ka 1 +1， b 2 = ka 2 +1， D =2 2= a 1b 2 - a 2b 1 = a 1 (ka 2 +1) -a 2 (ka 1 +1) = a 1 - a 2 ≠ 0 ，∴有唯一解，选 B ；⎧(x - a )2 , ⎪x ≤ 018. 设 f (x ) = ⎨ 1 ，若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围为（）⎪x + + a , x > 0 ⎩ x A. [-1 , 2]B. [-1 , 0]C. [1 , 2]D. [0 , 2]【解析】先分析 x ≤ 0 的情况，是一个对称轴为 x = a 的二次函数，当 a < 0 时，f (x )min = f (a ) ≠ f (0) ，不符合题意，排除 AB 选项；当 a = 0 时，根据图像 f (x )min = f (0) ，即 a = 0 符合题意，排除 C 选项；∴选 D ；解这类题要熟悉图像，找出关键区别点；13. 在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x -1)2+ y 2= 1 (x ≥ 1) 和 (x - 3)2+ y 2= 1 (x ≥ 3) 、两 条直线 y = 1和 y = -1围成的封闭图形记为 D ，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而 成的几何体为 Ω ．过 (0, y ) (| y |≤ 1) 作 Ω 的水平截面，所得截面面积为 2418y ππ-+试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 Ω 的体积值为.【解析】题目中已经给出截面面积为 4 1- y 2 + 8 ；所以根据祖暅原理，构造一个平放的圆柱和一个长方 体（题中有提示，如下图所示），圆柱的底面半径为 1， 高为 2 ，长方体底面积为 8 ，高为 2；所以当用同 一个平面去截下图三个几何体，圆柱的截面为长方形， 长是 2 ，宽是 2 1- y 2，所以面积为 41- y 2 ，长方体的截面面积始终是 8 ，根据祖暅原理，该圆柱和长方体的体积之和即我们所求几何体的体积，易求得体积为 2 2+16 ；14.（理）对区间 I 上有定义的函数 g (x ) ，记 g (I ) = {y | y = g (x ), x ∈ I }，定义域为[0, 3] 的函数 y = f (x ) 有反函数 y = f -1 (x ) ，且 f -1 ([0,1)) = [1, 2) ， f -1((2, 4]) = [0,1) ，若方程f (x ) - x = 0 有解 x 0 ，则 x 0 =；【解析】根据已知条件 f -1([0,1)) = [1, 2) ，f -1 ((2, 4]) = [0,1) ，可知 f ([1, 2)) = [0,1) ， f ([0,1)) = (2, 4]，推出 f ([2, 3]) ⊆ [1, 2] ，画出如右示意图，若有解，只能 x 0 = 2 ；14.（文）已知正方形 ABCD 的边长为 1．记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a 1 、a 2 、 a 3 ；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c 1 、 c 2 、 c 3 ．若 i , j , k , l ∈{1, 2, 3} ，且 i ≠ j ， k ≠ l ，则 (a i + a j ) ⋅ (c k + c l ) 的最小值是.【解析】 (a i + a j ) ⋅ (c k + c l ) =| a i + a j | ⋅ | c k + c l | ⋅cos，如下图所示，当夹角为 ，| a i + a j |=| c k + c l |= 5 时，取得最小值 -5 ；n17. 在数列{a n }中， a n = 2 -1，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 c i , j =a i ⋅ a j + a i + a j （ i = 1, 2, , 7 ； j = 1, 2, ,12 ），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A . 18 B. 28C. 48D. 63【解析】 c i , j = a i ⋅ a j + a i + a j = (a i + 1)(a j + 1) -1 = 2i + j-1，根据已知条件 i = 1, 2, , 7 ，j = 1, 2, ,12 ，∴ i + j = 2, 3, ,19 ，∴可以取到 18 个不同数值，选 A ； 18.（理）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分 别为 a 1 、 a 2 、a 3 、 a 4 、 a 5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d 1 、 d 2 、 d 3 、 d 4 、 d 5 ，若 m 、 M 分别为 (a i + a j + a k ) ⋅ (d r + d s + d t ) 的最小值、最大值，其中{i , j , k } ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}，{r , s , t } ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} ，则 m 、 M 满足（）A. m = 0 ， M > 0 C. m < 0 ， M = 0B. m < 0 ， M > 0 D. m < 0 ， M < 0【解析】因为点 A 、点 D 是六边形正相对的点，∴ a 1 、 a 2 、 a 3 、 a 4 、 a 5 中任三个向量 的合向量与 d 1 、d 2 、 d 3 、d 4 、 d 5 中任三个向量的合向量的大致方向是相反的（至少夹角 为钝角），所以数量积是负值；选 D ；这类题目，与其说是考计算，不如说是考数学感觉；18．记椭圆22441x ny n ++＝1围成的区域(含边界)为Ωn (n ＝1，2，…)，当点(x ，y )分别在Ω1，Ω2，…上时，x ＋y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则lim n n M →∞＝( )A ．0B ．14` C ．2D ．22答案：D 椭圆方程为：2222221lim 114414444n x ny x y x y n n→∞+=⇒+=+=++， 联立22144x y n x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒x 2＋(u －x )2＝4⇒2x 2－2ux ＋u 2－4＝0⇒Δ＝4u 2－8(u 2－4)≥0⇒u 2－2(u 2－4)≥0⇒8≤u 2⇒u ∈[22-，22，所以x ＋y 的最大值为22 D. （2010 年 11 题）将直线 l 1 : nx + y - n = 0 、 l 2 : x + ny - n = 0 (n ∈ N的封闭区域的面积记为 S n ，则 lim S n = ；n →∞*) 、 x 轴、 y 轴围成yx【解析】直线先化为 l 1 : x +-1 = 0 、l 2 : + y -1 = 0 ，当 n → +∞ 时，l 1 趋近于直线 x = 1 ，n nl 2 趋近于直线 y = 1，封闭区域的极限位置是一个边长为 1 的正方形，∴面积极限为 1；（2011 年 14 题） 已知点 O (0, 0) 、Q 0 (0,1) 和点 R 0 (3,1) ，记 Q 0 R 0 的中点为 P 1 ，取 Q 0 P 1 和P 1R 0 中的一条，记其端点为Q 1 、 R 1 ，使之满足 ( OQ 1 - 2)( OR 1 - 2) < 0 ，记 Q 1 R 1 的中点为 P 2 ，取 Q 1 P 2 和 P 2 R 1 中的一条，记其端点为 Q 2 、 R 2 ，使之满足 ( OQ 2 - 2)( OR 2 - 2) < 0依次下去，得到 P 1 , P 2 , , P n , , 则 lim n →+∞Q 0 P n =；【解析】依次下去，有 ( OQ n - 2)( OR n - 2) < 0 ，表示 OQ n 、OR n 其中一条长度大于 2，另一条长度小于 2，当 n → +∞ 时，它们的长度都会趋近于 2，即 OP n 的长度趋近于 2，结合勾股定理，可知 lim n →+∞Q 0 P n = 3 ；2012 年12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =⋅的取值范围是 .【答案】[]5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以 51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).22224284423N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AM x AN --==→→. 所以83235)4821(x x x AN AM -+-=•→→⎪⎭⎫⎝⎛≤≤2521x ，所以2 5.AM AN →→≤•≤【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13. 已知函数 y = f (x ) 的图像是折线段 ABC ，其中 A (0, 0) 、 B ( 1, 5) 、 C (1, 0) ，函数2y = xf (x ) （ 0 ≤ x ≤ 1）的图像与 x 轴围成的图形的面积为 ；⎧10x , x ∈[0, 0.5] 【解析】根据题意 f (x ) = ⎨ ，⎩10 -10x , x ∈ (0.5,1]⎧⎪10x 2, x ∈[0, 0.5]∴ xf (x ) = ⎨⎪⎩10x -10x 2, x ∈ (0.5,1]，画出图像，如 图所示，利用割补法，所求面积即三角形 AB 'C 的5642246105510ADCBMN面积，求得面积为4；或者用计算器求积分；14.（理）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC = 2 ，若AD = 2c ，且AB + BD = AC + CD = 2a ，其中a, c 为常数，则四面体ABCD 体积最大值是；【解析】如图作截面EBC ⊥AD ，∴V = 1 S3 E BCAD ，AD = 2c ，即求截面EBC 面积的最大值，∵AB + BD= AC + CD = 2a ，∴B 、C 在一个以A 、D 为焦点的椭球上，易知当E 为AD 中点时，EB 和EC 同时取到最大值a2 - c2 ，即截面面积最大为a2 - c2 -1 ，即2 2 2体积最大为 c a - c -1 ；314.（文）已知f (x) =11+ x，各项均为正数的数列{a n } 满足a1 = 1，a n+2 = f (a n ) ，若a 2010 = a2012，则a20 + a11 的值是.1 2 ， a 7 = 3 5 8 25 8 13【解析】∵ a 1 = 1，代入求得 a 3 = ， a 5 =1 1 ， a 9 = ， a 11 = ；再根据 a 2010 = a 2012 =-1 1+ a 2010 ，解得a 2010 = a 2012 = 2，代入 a n +2 = f (a n ) 继续求得偶数项均 -1 8 3 为 ，∴ a + a = + = ；220 11 2 13 26 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 【答案】 A【解析】 由随机变量21,ξξ的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x =++++，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭且随机变量21,ξξ的概率都为2.0，所以有1ξD ＞2ξD . 故选择A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++=Λ21，在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 18.若2sin sin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.。