则4x21x－1－44x＝1＋03，＝0，解得 x1＝1，
故存在定点 M(1，0)符合整题理版意.
12
定点问题的常见解法：
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，
建立一个直线系或曲线系方程，而该方
程与参数无关，故得到一个关于定点坐
标的方程组，以这个方程组的解为坐标
的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，
整理版
2
(1)解 因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，
所以p2＝1，所以 p＝2.所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)证明 ①当直线 AB 的斜率不存在时，设 At42，t， Bt42，－t.因为直线 OA，OB 的斜率之积为－12， 所以tt2·－t2t＝－12，化简得 t2＝32.
y＝kx＋m，
由x＝4
得 Q(4，4k＋m)，
假设存在点 M，坐标为整(理x版1，0)，
11
则M→P＝－4mk－x1，m3 ，M→Q＝(4－x1，4k＋m). ∵以 PQ 为直径的圆恒过 M 点，∴M→P·M→Q＝0，
即－1m6k＋4kmx1－4x1＋x21＋1m2k＋3＝0， ∴(4x1－4)mk ＋x21－4x1＋3＝0 对任意 k，m 都成立.
整理版
14
[解] (1)如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|， 当 O1 不在 y 轴上时，过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，
∴|O1M|＝ x2＋42，
整理版
15
又|O1A|＝ x－42＋y2， ∴ x－42＋y2＝ x2＋42， 化简得 y2＝8x(x≠0)． 又当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足 方程 y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x. (2)证明：由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，P(x1， y1)，Q(x2，y2)，
解得 x＝0 或 x＝－1＋6k3k2，因此 P 的坐标为－1＋6k3k2，－1＋6k32k2＋1，即
－1＋6k3k2，11－＋33kk22.将上式中的 k 换成－1k，得 Qk26＋k 3，kk22－＋33.
整理版
7
∴直线 l 的方程为 y＝kkk2226－ ＋ ＋k 333－ ＋111＋－ ＋6k333kkk222x－k26＋k 3＋kk22－ ＋33，
整理版
4
练习：如图，已知椭圆 C：xa22＋y2＝1(a>1)的上顶点为 A， 右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：x2＋y2－6x－2y＋7＝ 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点， 且A→P·A→Q＝0，求证：直线 l 过定点，并求出该定点 N 的坐标.
44 所以 A(8，t)，B(8，－t)，此时直线 AB 的方程为 x＝8. ②当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋b，
)，联立得yy＝2＝k4xx＋，b，化简得 ky2－4y＋4b＝ 0.根据根与系数的关系得 yAyB＝4kb，因为直线 OA，OB 的斜率 之积为－12，所以yxAA·yxBB＝－12，即 xAxB＋2yAyB＝0.即y42A·y4B2＋2yAyB ＝0，解得 yAyB＝0(舍去)或 yAyB＝－32.所以 yAyB＝4kb＝－32， 即 b＝－8k，所以 y＝kx－8k，y＝k(x－8). 综上所述，直线 AB 过定点(8，0).
整理版
5
方法一
整理版
6
(2)证明 由A→P·A→Q＝0，知 AP⊥AQ，从而直线 AP 与坐标轴不垂直，
由 A(0，1)可设直线 AP 的方程为 y＝kx＋1，直线 AQ 的方程为 y＝－1kx＋1(k≠0)， 将 y＝kx＋1 代入椭圆 C 的方程x32＋y2＝1 并整理得：(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
找出定点，再证明该点适合题意.
整理版
13
练习：已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)已知点 B(－1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是∠PBQ 的角平分线， 证明直线 l 过定点．
整理版
9
解 (1)由 e＝12可得 a2＝4c2，① S△F1AF2＝12|AF1||AF2|sin 60°＝ 3，可得|AF1||AF2|＝4， 在△F1AF2 中，由余弦定理可得 |F1A|2＋|F2A|2－2|F1A|·|F2A|cos 60°＝4c2， 又|AF1|＋|AF2|＝2a，可得 a2－c2＝3，② 联立①②得 a2＝4，c2＝1.∴b2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
整理版
10
y＝kx＋m， (2)设点 P(x0，y0)，由 x42＋y32＝1
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由题意知 Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0， 化简得 4k2－m2＋3＝0，
∴x0＝－4k42k＋ m3＝－4mk，y0＝m3 ，∴P－4mk，m3 .
化简得直线 l 的方程为 y＝k24－k 1x－12. 因此直线 l 过定点 N0，－12.
整理版
8
6.已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e＝12，点 A 为椭圆上一点， ∠F1AF2＝60°，且 S△F1AF2＝ 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，且与直线 x＝4 相交于点 Q.问：在 x 轴上是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的 圆恒过定点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.
圆锥曲线中的定点问题
基本思想：
设直线为 y kx b 方法一：找到 k与b的关系 , 例如 b 2k 则直线过（ 2,0） 方法二：通过计算可以 求出 b的值 . 方法三：通过特殊位置 找到定点，再证
明对任意情况都成立
整理版
1
【例 1－1】 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F(1，0)，O 为坐 标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若直线 OA，OB 的斜率之积为－12，求证：直线 AB 过 x 轴上 一定点.