若用“〇”、“△”分别表示一对未 成年和成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁 殖数量图：
〇
解
△
△
〇
〇 〇
△
△
△ △ △ 〇 △ 〇 △ 〇 △ △ 〇 △ △ 〇 △△ 〇 △ △〇 △ 〇 △△ 〇
去年12月 今年 1 月 2月 3月 4月
1 1 2 3 5
5月 8 6 月 13
从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总 数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按此
1 1 1 1 xn 1 1 1 1 n 1 2! n! 2 2 1 3 n 1 3, xn 是有界的; 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n
1 n 设 x n (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
1 1 1 1 2 n1 1 1 (1 ) (1 )(1 )(1 ). 2! n n! n n n
于是有 sin x BD,
x 弧 AB,
tan x AC ,
sin x x tan x ,
sin x 即 cos x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
当 0 பைடு நூலகம் 时, 2

x x 2 x2 0 cos x 1 1 cos x 2 sin2 2( ) , 2 2 2
解
1 1 x 1 原式 lim[(1 ) ] lim x x 1 x x (1 ) x 1 . e
3 x 2x 例7 求 lim( ) . x 2 x
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
上两式同时成立,
a z n a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim xn a.
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x 0 , )(或 x M )时,有
x2 lim 0, x0 2
lim(1 cos x ) 0,
x 0
lim cos x 1,
x 0
又 lim1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
例1
tan x 求 lim . x 0 x
解
tan x sin x 1 lim lim x 0 x 0 x x cos x
n 1

且此数列有递推关系：
Fn2 Fn1 Fn (n 0,1,2,)
Fn1 记bn , 则(bn 1) 100%就是第n 1月相对 Fn 第n月的兔子对数的增长率 (n 0,1,2,), 若 lim bn n
存在,则(lim bn 1)就表示许多年后兔子对数的月 n 增长率。 lim bn 存在的证明及求法如下： n
x
令 e 1 u, 即 x ln(1 u),
x
则当 x 0 时, 有 u 0,
1 ex 1 u lim lim lim u0 ln(1 u ) x 0 u0 ln(1 u) x u
1.
例10 证明数列 x n 3 3 3 ( n重根
2
例3
解
arcsin x 求 lim . x 0 x
令t arcsin x，于是 x sin t，在x 0, 有t 0.
由复合函数的极限运算法则得
arcsin x t lim lim 1 x 0 t 0 sin t x
例4 解
sin x 求 lim . x x
第五节 极限存在准则 两个重要极限 连续复利
一、夹逼准则 二、单调有界收敛准则
三、连续复利 四、小结 思考题
一、夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
( 2) lim yn a , lim zn a ,
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3x n x n 1
A
M
x
作为准则Ⅱ的应用，可以证明一个重要的极限
1 x lim (1 ) e x x 1 n 定义 lim (1 ) e n n
式)的极限存在.
证
显然 xn1 xn ,
xn 是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
xn 是有界的;
lim x n 存在.
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
1 1 ) 类似地, xn1 1 1 (1 2! n1 1 1 2 n1 (1 )(1 )(1 ) n! n1 n 2 n1 1 1 2 n (1 )(1 )(1 ). ( n 1)! n1 n 2 n1 显然 xn1 xn , xn 是单调递增的 ;
证 b0 1 Fn1 Fn Fn1 Fn1 1 bn 1 1 Fn Fn Fn bn1 (n 1,2,)
用数学归纳法容易证明： 数列{b2n }是单调增加的；数列 {b2 n1} 是单调 减少的. 3 又, 对一切 n 0, bn 2 成立. 即数列{b2n } 、 2 {b2 n1} 是有界的. 根据“单调有界数列必有极限”的准则可知 数 { 列{b2n }和 b2 n1}的极限存在, 分别记作b*和b* , 即
r nk Ak lim A0 (1 ) n n A0 e
rk
1 lim A0 1 n n r
n r
rk
四、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
1 lim
0
sin
某过程

1;
2 lim (1 ) e .
0 某过程
1
思考题
有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个 月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所 生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对 小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对 小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共 有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月 增长率.
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
A 2 3 A,
三、连续复利
设一笔贷款 A0 (称为本金) ，年利率为r , 则 一年后本利和 A1 A0 (1 r ) 两年后本利和 A2 A1 (1 r ) A0 (1 r ) 2
sin x 1 lim lim 1 x 0 x x 0 cos x
1 cos x 例2 求 lim . 2 x 0 x
x 2 x 2 sin sin 2 1 lim 2 解 原式 lim x 0 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 lim( 1 x 0 x 2 2 2 1 . 2
可以证明，当 x 取实数而趋向 或 时，函数 1 x (1 ) 的极限都存在且等于 e ,因此 x 1 x lim(1 ) e . x x 1 利用代换 z ，则当 x 时， 0 , 于是有 z x
lim(1 z ) e
z 0
1 z
1 x 例6 求 lim(1 ) . x x
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限 C
sin x lim 1 x 0 x
B
o
)
x
如右图， 设单位圆 O,
圆心角AOB x(0 x

2
D
A
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
令t x , 则
sin x sin t lim lim x x t 0 t
sin t lim 1 t 0 t
例5 求 lim(
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
规律可写出数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
可见一年后共有兔子233对. 按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波 那契(Fibonacci)数列, 其通项为
1 1 5 Fn 5 2
n 1
1 5 2
0
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x x g ( x ) A, x x h( x ) A, lim lim
( x )
0
( x )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x x0 ( x )