a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
三阶行列式的计算
a13 a23 .列标 a33 行标 a13 a23 a33
a11 a12 (1)沙路法 D = a21 a22 (1)沙路法 a31 a32
a 11 a 21
a 31
a 12 a 22
a 32
+ + − − − D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
第1章 行列式
第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
(1) a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 . (2 ) (1) × a22 : a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 ,
(2) × a12 :
a12 a22
例如
3 −2 D= =3−(−4) = 7 2 1
与方程组的关系（如不讲则转到第 页 与方程组的关系（如不讲则转到第10页）
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 .
若记 系数行列式
D=
a11
a12
a21 a22
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 = b2 b3 b1 D1 = b2 b3 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
的线性方程组, 得一个关于未知数 a , b, c 的线性方程组 又 D = −20 ≠ 0, D1 = −40, D2 = 60, D3 = −20. 得 a = D1 D = 2, b = D2 D = −3, c = D3 D = 1
记
即
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
得
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⇒ D3 = a21 a x + a x + a x = b ; a31 31 1 32 2 33 3 3
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a11 a12 D3 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 = b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
1
例２ 计算三阶行列式 解 按对角线法则， 按对角线法则，有
2 -4 1
D= -2 2
-3 4 -2
D = 1 × 2 × ( −2 ) + 2 × 1 × ( −3 ) + ( −4) × ( −2 ) × 4
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D= a11 a 21 a12 a 22 ,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D1 = b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地， 类似地，消去 x1，得 （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 方程组的解为
a12 a22
= a11a22 − a12 a21 .
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, a33
思考题
求一个二次多项式 f ( x ), 使
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
= −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24
= −14.
1 1
例3 解
1 x = 0. 2 x
求解方程
方程左端
2 3 4 9
D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12
记 a11
a21 a31
a12 a22 a32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 (6) a23 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. 式称为数表（ 所确定的三阶行列式 三阶行列式.
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = . ， x2 = a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
由方程组的四个系数确定. 由方程组的四个系数确定
（3）
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列） 称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3
得
Байду номын сангаас
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
a11 a12 的系数行列式 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 ≠ 0, a33
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 = b2 b3 a11 D = a21 a31 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 a32 a33
+
(2)对角线法则 (2)对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a31
a22 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
红线上三元素的乘积冠以正号， 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 元素的乘积冠以负号． 说明1 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
f ( x ) = ax 2 + bx + c ,
由题意得
f (1) = a + b + c = 0, f (− 3 ) = 9a − 3b + c = 28,
f ( 2 ) = 4a + 2b + c = 3,
解
+ 1 × 2 × 1 − 1 × 1 × ( − 1) − ( − 2 ) × 2 × ( − 1) − 1 × ( − 3 ) × 1 = − 5 ≠ 0,
同理可得
1 −2 1 −2 −2 1 D1 = 1 1 − 3 = −5, D2 = 2 1 − 3 = −10, 0 1 −1 −1 0 −1
三阶行列式包括3! 3!项 每一项都是位于不同行, 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正, 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3