基本初等函数的导数公
式的推导过程
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
基本初等函数的导数公式推导过程
一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程
命题
若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=．
推导过程
()f x '
()()()()()()000112220011222011222011220
lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x αα
αααααα
ααααααααααααααααααα
αααααα∆→∆→--∆→--∆→--∆→--∆→+∆-=∆+∆-=∆+∆+∆++∆-=∆-+∆+∆++∆=∆∆+∆++∆=∆=+∆++()1111
C x x x ααααα
αα---∆== 所以原命题得证．
命题
若()sin f x x =，则()cos f x x '=．
推导过程
()f x '
()()
()()()()0000020lim
sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆∆⎡∆⎤⎛⎫⎛⎫⋅+⋅-- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2
00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x ∆→∆→∆→∆→⎥∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 当0x ∆→时，sin 22
x x ∆∆=，所以此时sin
212x
x ∆=∆． 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ∆→∆⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭
，所以原命题得证．
命题
若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．
推导过程
()f x '
()()()()()()0000020lim cos cos lim cos cos sin sin cos lim cos cos cos sin sin lim cos cos 1sin sin lim cos 12sin 1sin 2sin cos 222lim x x x x x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆-∆-=∆∆--∆=∆∆--∆=∆⎡∆⎤∆∆⎛⎫⎛⎫⋅---⋅ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=()
2000002sin cos 2sin sin cos 222lim 2sin sin cos cos sin 222lim 2sin sin 22lim sin 2lim sin 22lim sin 2sin si x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→⎪∆∆∆∆⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫- ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭
=-=-n x
所以原命题得证．
四、指数函数()x
f x a =（a ＞0，且1a ≠）的导数公式推导过程 命题
若()x f x a =（a ＞0，且1a ≠），则()ln x f x a a '=．
推导过程
()f x '
()()
0000lim lim lim 1lim x x x x x x x x x x
x x f x x f x x
a a x
a a a x
a a x ∆→+∆∆→∆∆→∆∆→+∆-=∆-
=∆⋅-=∆⎛⎫
-=⋅ ⎪∆⎝⎭
令1x t a ∆=-，则1x a t ∆=+，即()log 1a x t ∆=+．且当0x ∆→时，1x a ∆→，
10x a ∆-→，即0t →．所以原极限可以表示为：
()f x '
()()()001
0lim log 11lim 1log 11lim log 1x t a x t a x t t a t a t a t t a t →→→⎡⎤
=⋅⎢⎥
+⎣⎦
⎡
⎤
⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
=⋅⎢⎥
+⎢⎥⎣⎦
又因为()1
0lim 1e t
t t →+=，所以
()f x '
1
log e
ln lne ln x a x x a a
a a a =⋅=⋅=
所以原命题得证．
五、对数函数()log a f x x =（a ＞0，且1a ≠，x ＞0）
的导数公式推导过程
命题
若()log a f x x =（a ＞0，且1a ≠，x ＞0），则()1ln f x x a '=． 推导过程 ()f x '
()()()000000lim
log log lim 1lim log 11lim log 1lim log 1lim log lim x a a x a x a x a x a x x f x x f x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆⎡+∆⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫=⋅ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣
⎦⎧⎫⎡+∆⎤⎛⎫=⋅⎨⎬ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣
⎦⎩⎭=001log 1lim log 1x x a x x a x x x x x x x x ∆∆∆→⎡⎤+∆⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤∆⎛⎫⎢⎥=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令x t x
∆=．且当0x ∆→时，0t →．所以原极限可以表示为： ()f x '
()101lim log 1t a t t x →⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦
又因为()10lim 1e t
t t →+=，所以 ()f x '11lne 1log e ln ln a x x a x a =⋅=⋅=
所以原命题得证．。