专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳
► 类型一 代入求值型 一、直接代入型
1．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
a －1＋11－a ·1a
，其中a ＝－12.
二、选择代入型
2．先化简：x 2
＋x x 2－2x ＋1÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代
入求值．
3．若a 满足－3≤a≤3，请你选取一个合适的数a 使得代数式a 2
－1a ÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－1a 的值是一
个奇数．
三、整体代入型
4．已知x ，y 满足x ＝5y ，求分式x 2
－2xy ＋3y
2
4x 2＋5xy －6y 2的值．
5．已知a ＋b b ＝52，求a －b
b 的值．
6．若1a －1b ＝12，求a －b ab －ab
a －
b 的值．
7．已知1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y
的值．
8．已知a 满足a 2
＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2
－2a ＋1的值． 9．已知t ＋1t ＝3，求t 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2的值．
10．已知x ＋1x ＝4，求x
2
x 4＋x 2
＋1的值． ► 类型二 设比例系数或用消元法求值
11．已知2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0，abc ≠0，则a 3
－2b 3
＋c
3
a 2
b －2b 2
c ＋3ac 2＝________．
12．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx
x 2＋y 2＋z 2的值．
► 类型三 利用非负数的性质挖掘条件求值
13．已知x 2
－4x ＋4与|y －1|互为相反数，则式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x ÷(x ＋y)的值为________．
14．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3y ＋1y ＋42
＝0，求32x ＋1－23y －1的值．
► 类型四 值恒不变形
15．已知y ＝x 2
＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x －x ＋3，试说明不论x 为任何使原式有意义的值，y 的
值均不变．
详解详析
1．解：原式＝⎝⎛⎭⎫a 2a －1－1a －1·1a ＝a 2－1a －1·1a ＝（a ＋1）（a －1）a －1
·1a ＝a ＋1a .
当a ＝－1
2时，a ＋1a ＝－1
2＋1－1
2
＝－1.
2．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2
x －1.
由题意，可取x ＝2代入上式，得x 2x －1＝22
2－1
＝4.(注意：x 不能为0和±1)
3．解：原式＝a ＋1.由原代数式有意义，得a ≠0且a ≠1，又代数式的值是奇数，且－3≤a ≤3，所以a ＝±2.
4．解：由已知可得y ≠0，将分式的分子、分母同除以y 2
，得原式＝⎝⎛⎭⎫x y 2
－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y －6.
又已知x ＝5y ，变形得x y ＝5，将其代入原式，得⎝⎛⎭⎫x y 2
－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2
＋5·x y －6＝52－2×5＋34×52＋5×5－6＝18
119. 5．[解析] 由a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b
b
－2，再将已知条件代入该式即可求解．
解：a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2，
又知a ＋b b ＝52，将其代入上式，得
a －
b b ＝52－2＝12. 6．解：由1a －1b ＝12，
得
b －a ab ＝1
2
， 所以a －b ab ＝－12，ab a －b ＝－2，
所以a －b ab －ab a －b
＝－12＋2＝32.
7．[解析] 由条件1x ＋1
y ＝5，通分化简，得x ＋y ＝5xy ，代数式可化为2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y ，
从而整体代入求值．
解：∵1x ＋1y ＝x ＋y
xy ＝5，
∴x ＋y ＝5xy ， ∴
2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y ＝10xy －3xy
5xy ＋2xy
＝1.
8．[解析] 对要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2＋2a －15＝0进行配方，得到a ＋1的值，再把它整体代入即可求出答案．
解：1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1
＝1a ＋1－a ＋2（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋1）（a ＋2） ＝
1a ＋1－a －1（a ＋1）2＝2（a ＋1）2
. ∵a 2＋2a －15＝0，∴(a ＋1)2＝16，
∴原式＝216＝1
8.
9．[解析] 利用t 2
＋⎝⎛⎭⎫1t 2
＝⎝⎛⎭⎫
t ＋1t 2
－2的形式，将已知条件整体代入求解．
解：因为t 2
＋⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2
－2，
又t ＋1
t ＝3，将其代入上式，得原式＝32－2＝7.
10．解：因为x ＋1x ＝4，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝42，
即x 2＋2＋1x 2＝16，所以x 2＋1
x 2＝14.
因为x 4＋x 2＋1x 2
＝x 2＋1＋1x 2＝x 2＋1
x 2＋1＝14＋1＝15，
所以x 2x 4＋x 2＋1＝1
15
.
11.11
42 [解析] 由已知条件不能求出a ，b ，c 的具体值，但是我们可以把已知等式组成方程组，用其中一个字母(如c)来表示另两个字母，把分式转化为只含一个字母的分式，再约分．
由已知，得⎩
⎨⎧2a －3b ＝－c ，
3a －2b ＝6c ， 解这个方程组得
⎩⎨
⎧a ＝4c ，b ＝3c ，
代入原式，得a 3－2b 3＋c 3
a 2
b －2b 2
c ＋3ac 2＝
（4c ）3－2·（3c ）3＋c 3（4c ）2·3c －2·（3c ）2c ＋3×4c·c 2＝11c 342c 3＝11
42
.
12．解：设x 2＝y 3＝z
4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2
＝
26
29
. 13.1
2 [解析] 代数式x 2－4x ＋4＝(x －2)2.因为x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，所以由非负数的性质，得x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，所以⎝⎛⎭⎫x y －y x ÷(x ＋y)＝⎝⎛⎭⎫21－1
2÷(2＋1)＝1
2
.
14．解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3y ＋1y ＋42
＝0，得x －12x －3＝0，3y ＋1y ＋4＝0，所以x ＝1，y ＝－13，
所以原式＝32×1＋1－23×⎝⎛⎭⎫－13－1
＝2.
15．[解析] 先化简分式，再通过分析化简结果得出结论． 解：y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3
x 2－3x －x ＋3
＝（x ＋3）2（x ＋3）（x －3）·x （x －3）
x ＋3－x ＋3
＝x －x ＋3 ＝3.
由化简结果，可知y 的值为常数3，与x 的取值无关，故不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变．。