分式的化简一、比例的性质:⑴比例的基本性质:a cad bc b d=⇔=,比例的两外项之积等于两内项之积. 知识点睛中考要求⑵更比性(交换比例的内项或外项): ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶反比性(把比例的前项、后项交换):a c b d b d a c=⇒=⑷合比性:ac a b cd b d b d ±±=⇒=,推广:a c a kb c kdb d b d±±=⇒=(k 为任意实数) ⑸等比性:如果....a c m b d n ===,那么......a c m a b d n b+++=+++(...0b d n +++≠) 二、基本运算分式的乘法:a c a cb d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法:a c a d a d b d b c b c⋅÷=⨯=⋅乘方:()n nn n n a a aa a aa ab b bb b bb b⋅=⋅=⋅个个n 个=(n 为正整数) 整数指数幂运算性质:⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m 、n 为整数)负整指数幂:一般地,当n 是正整数时,1n n a a-=(0a ≠),即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,a b a bc c c+±=异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式再加减,a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序:先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算.结果以最简形式存在.一、分式的化简求值【例1】 先化简再求值:2111x x x---,其中2x = 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,湖南郴州例题精讲【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==- 当2x =时,原式112x==【答案】12【例2】 已知:2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++,其中3a =【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【例3】 先化简,再求值:22144(1)1a a a a a-+-÷--,其中1a =- 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,安徽省中考【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭-当1a =-时,原式112123a a -===---【答案】13【例4】 先化简,再求值:2291333x x x x x⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭其中13x =. 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,湖南省长沙市中考试题【解析】原式()()()33133x x x x x +-=⋅-+ 当13x =时,原式3=【答案】3【例5】 先化简,再求值:211(1)(2)11x x x -÷+-+-,其中x =.【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+当x =时,原式224=-=.【答案】4【例6】 先化简,后求值:22121(1)24x x x x -++÷--,其中5x =-. 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅--=21x x +-当5-=x 时,原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【例7】 先化简,再求值:532224x x x x -⎛⎫--÷⎪++⎝⎭,其中3x =. 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,湖北省武汉市中考试题【解析】原式2453(3)(3)2(2)22(2)22(3)3x x x x x x x x x x ---+-+=⨯=+++-=÷+,当3x =时,原式=。
【答案】【例8】 先化简,再计算:231124a a a +⎛⎫+÷⎪--⎝⎭,其中3a =-. 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,湖南省岳阳市中考试题【解析】原式()()2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯ ⎪--+⎝⎭【答案】2a +【例9】 当12x =-时,求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+-【答案】13【例10】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-,然后在0,1,2,3中选一个你认为合适的a 值,代入求值.【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+当0123a =,,,时,原式0246=,,, 【答案】0,2,4,6【例11】 先化简:22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭,当1b =-时,再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值.【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b aa a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中,a 可取的整数为101-,,,而当1b =-时,①若1a =-,分式222a b a ab--无意义;②若0a =,分式22ab b a+无意义;③若1a =,分式1a b+无意义. 所以a 在规定的范围内取整数,原式均无意义(或所求值不存在)【答案】a 在规定的范围内取整数,原式均无意义(或所求值不存在)【例12】 已知212242xA B C x x x ===--+,,将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式,请你从中任选一种进行计算,先化简,再求值其中3=x .【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年,河南省中考试题 【解析】选一:()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯=⎪--++--⎝⎭当3x =时,原式1132==- 选二:()21212124222x A B C x x x x x x x-÷=-÷=-=--+--, 当3x =时,原式13=【答案】选一:当3x =时,原式1132==-选二:当3x =时,原式13= 【例13】 先化简,再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+,其中4a = 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 当4a =时,原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯-- 本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算;与分式四则混合运算类似,分式的四则混合运算的顺序是:先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算. 【答案】12【例14】 已知20102009x y ==,,求代数式22xy y x y x x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭÷的值. 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,顺义一模试题 【解析】22xy y x y x x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭÷ 当2010x =,2009y =时,原式=201020091x y -=-=.【答案】1【例15】 已知22a b =+=-ab b a-的值. 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b == ∴4a b +=,a b -=1ab = 而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴ab b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例16】 先化简,再求值:()()x y y x y x x y -++,其中11x y =,. 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++当11x y ==,时, 【答案】2【例17】 化简,再求值:11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭aba b ÷+.其中1a ,b . 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年,黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b ++-+=⋅=-+-∵1a b ==,∴原式1b ==,∴=【例18】 先化简,再求值:22112ba b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭,其中11a b ==-【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年,宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b +----=⋅=-++当11a b ====【答案】【例19】 先化简,再求值:22211x y x y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭,其中11x y =, 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年,广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭当11x y =+=-, 原式22131xy ====- 【答案】1 【例20】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值,其中1a =,12b =-,23c =-【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()()()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b c a b --=+. ∴当1a =,12b =-,23c =-时,原式12123112++=-1313263=⨯=. 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例21】 已知:2244a b ab +=(0ab ≠),求22225369a b a b b a b a ab b a b --÷-++++的值. 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年,石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a = 原式2a b a b-=+当2b a =时, 原式42a a a a-=+1=- 【答案】1-【例22】 已知x y z ,,满足235x y z z x ==-+,则52x y y z-+的值为() A.1B.13C.13- D.12【考点】分式的化简求值【难度】4星【题型】选择【关键词】2007年,全国初中数学联赛试题【解析】B ;由235x y z z x ==-+得332y x z x ==,, ∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例23】 已知:34x y =,求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】2222222()()()3 2()()4 x y xy y x y x y y x y xx xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷== -+---【答案】34【例24】已知:220x-=,求代数式222(1)11x xx x-+-+的值.【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,丰台一模【解析】原式=22 (1)1)(1)1 x x x x x-++-+(=2111 x x x x-+++=211x xx+-+.∵220x -=,∴22x =.∴原式=211111x x x x +-+==++. 【答案】1【例25】 已知12=x y ,求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值. 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年,海淀一模 【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 2()()x y x y +=-. 当21=y x 时,x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--. 【答案】6-【例26】 已知221547280x xy y -+=,求x y的值.【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】221547280x xy y -+=,∴(37)(54)0x y x y ++=,∴370x y +=或540x y +=,由题意可知:0y ≠,73xy =-或45x y =-. 【答案】45- 【例27】 已知22690x xy y -+=,求代数式2235(2)4x y x y x y +⋅+-的值. 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年,海淀二模【解析】22690x xy y -+=,2(3)0x y -=.∴3x y =.∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-145=. 【答案】145【例28】 已知x =,求351x x x ++的值.【考点】分式的化简求值 【难度】4星【题型】解答【关键词】降次,整体置换【解析】 21x -=21x x =+,0x ≠.则()233245555111x x x x x x x xx x x x ++++=====【例29】 已知20x y -=,求22()2x y xyy x x xy y -⋅-+的值.【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010年,东城二模【解析】22()2x y xyyxx xy y -⋅-+=22222x y xy xy x xy y -⋅-+ =2()()()x y x y xyxy x y -+⋅-=x y x y+-. ∵20x y -=,∴2x y =.∴x y x y +-=2332y y yy yy +==-.∴原式3.=【答案】3【例30】 已知3a b =,23a c =,求代数式a b ca b c+++-的值. 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】(法1)注意将未知数划归统一,2,33a a b c ==,123331233a a aa b c a b c a a a++++==+-+- (法2)3a b =,223233a c b b ==⨯=,32332a b c b b ba b c b b b ++++==+-+-【答案】3【例31】 已知123ab c a c ==++,求ca b+的值. 【考点】分式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】第8届,华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩,所以220c a a b a ==++.【答案】2【例32】 已知2232a b ab -=,0a >,0b >,求证:252a b a b +=- 【考点】分式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=,则(3)()0a b a b -+=,所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >,∴3a b =,则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【例33】 已知:2232a b ab -=,求2a ba b+-的值. 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】清华附中暑假作业【解析】变形可得:()(3)0a b a b +-=,所以a b =-或3a b =,所以212a b a b +=--或52.【答案】12-或52【例34】 已知22(3)0x y a b -+-=,求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值.【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届,华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得:2y x =,3a b =,故原式7297=. 【答案】7297【例35】 已知分式1x yxy+-的值是m ,如果用x ,y 的相反数代入这个分式,那么所得的值为n ,则m 、n 是什么关系?【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由题可知:()()()1.1x ym xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩,①②由②得:11x y x yn m xy xy--+==-=---. ∴m n =-,∴0m n +=.所以m n ,的关系为互为相反数.【答案】m n ,的关系为互为相反数【例36】 已知:233mx y +=,且()22201nx y x y -=≠≠-,.试用x y ,表示mn. 【考点】分式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠,∴由233mx y +=,得:()()231133y y y m x x+--==. 由222nx y -=,得:()222122y y n x x ++==. ∵1y ≠-,∴0n ≠,∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=. 【答案】()312x y -【例37】 已知:230a b c -+=,3260a b c --=,且0abc ≠,求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【考点】分式的化简求值【难度】4星【关键词】【解析】由题意可知:2303260a b ca b c-+=⎧⎨--=⎩,解得43a cb c=⎧⎨=⎩,333322233215173453a b c cab bc a c c-+-==-+-【答案】13-【例38】已知方程组:230230x y zx y z-+=⎧⎨-+=⎩(0xyz≠),求:::x y z【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z看作已知数,解关于x、y的方程组,解得5y z=,7x z=,所以::7:5:1x y z=.【答案】::7:5:1x y z=【例39】若4360x y z--=,270x y z+-=(0xyz≠),求222222522310x y zx y z+---的值.【考点】分式的化简求值【难度】3星【关键词】全国初数数学竞赛【解析】由43627x y z x y z -=⎧⎨+=⎩,得32x zy z =⎧⎨=⎩,代入得原式13=-.【答案】13-【例40】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58xy m y m n ===,求的x y m n +++最小值. 【考点】分式的化简求值【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛【解析】58x y =,58y m =,85m y =,864525n m y ==,从而y 是825200⨯=的倍数,当200y = 【答案】1157【例41】 设有理数a b c ,,都不为0,且0a b c ++=,则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。