的积．( )
(3)C25＝5×4＝20.( ) (4)C22 001167＝C12 017＝2 017.( )
解析：(1)对．因为只要两个组合的元素相同，不论 元素的顺序如何，都是相同的组合．
(2)对，根据组合数的定义知说法正确． (3)错，C25＝52××41＝10. (4)对，根据组合数的性质知等式成立． 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
温馨提示 注意组合与排列的区别与联系．
2．组合数公式与组合数的性质
(1)组合数公式：①Cmn ＝AAmnmm＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
m！
.
②Cmn ＝m！（nn！－m）！．
(2)组合数的性质：①Cmn ＝__C__nn－_m_；②Cmn＋1＝ _C_nm_＋__C__nm_－_1 ．规定：C0n＝1．
温馨提示 1.组合数公式可由排列数公式表示，注意 公式的结构；2.组合数公式在 n，m∈N*，且 m≤n 时成立， 在 m＞n 时不成立．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相
同．( )
(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘，可得C
2 4
个不同
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛， 没有顺序，是组合问题．
(4)冠 、亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺 序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1 枪，有顺序，是排列问题.
类型 2 组合数的计算
[典例 2] (1)计算：C9979＋C9989＋C91900＝________； (2)求值：C5n－n＋C9n－＋n1＝________； (3)解不等式 C4n>C6n. 解析：(1)C9979＋C9989＋C91900＝C91800＋C91900＝C91901＝C2101＝ 101×100 2×1 ＝5 050.
是组合问题；②和③中的问题是排列问题．
答案：①
4．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的 距离均不相等，则车票票价的种数是________．
解析：甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，
同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的 种数为 C23＝3×2 2＝3.
答案：3
5．方程 Cx14＝C21x4－4的解为________．
0≤5－n≤n，
(2)由组合数定义知：
得 4≤n≤5.
0≤9－n≤n＋1，
又 n∈N*，
所以 n＝4 或 n＝5.
当 n＝4 时，C5n－n＋C9n－＋n1＝C14＋C55＝5； 当 n＝5 时，C5n－n＋C9n－＋n1＝C05＋C46＝16. 答案：(1)5 050 (2)5 或 16
解：(3)由 C4n>C6n，得
(2)从 5 个不同的元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个， 写出所有不同的组合．
(1)解：①是组合问题，因为每两个队比赛一次并不 需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
②是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队 得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．
③是组合问题，因为 3 个代表之间没有顺序的区别．
(2)要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序 排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来， 如图所示：
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
பைடு நூலகம்
归纳升华 1．区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺 序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是 排列问题，否则是组合问题． 2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然 后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来．
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1．2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点)． 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点)．
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从n不同元素中取出m个元素的一 个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数，用符号Cnm表示．
(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连 中，不同的结果有多少种？
(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪 连中，不同的结果有多少种？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问 题？
解：(1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序， 是组合问题．
(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列 问题．
2．下列计算结果为 21 的是( )
A．A24＋C26 C．A27
B．C77 D．C27
解析：C27＝72××61＝21.
答案：D
3．下面几个问题中属于组合问题的是________． ①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；②由 1，2，3 构成两位数的方法；③由 1，2，3 组合无重复数字的两位 数的方法． 解析：①中选出的两个元素构成集合，与顺序无关，
n！
>
n！
，
4！（n－4）！ 6！（n－6）！
[变式训练] 给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工 作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不 同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共 需比赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种 不同的结果？
x＝2x－4， 解析：由题意知2x－4≤14，或
x≤14
x＝14－（2x－4）， 2x－4≤14， x≤14，
解得 x＝4 或 x＝6. 答案：4 或 6
类型1 组合的概念(自主研析) [典例1] (1)判断下列各事件是排列问题还是组合问 题． ①10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)， 这次比赛需要进行多少场次？ ②10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军 获得者有多少种可能？ ③从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？