2．扭转圆轴
1)应变能
U W
1 2
M
e
U T 2l 2GIp
若扭矩或截面直径为变量时
Me
l
a)分段变化
U
n
U
i1
i
in12TGi2Ilpi i
b)为杆长x的函数
U
0ldU
0l
T2 2GI
(
p
x) (x
dx )
2)比能
u
dU dV
0.5(A)(
dV
d
x)
A
2 G 2
2 2G 2
dx
dx
§10-2 弹性应变能的计算
1．广义力和广义位移 1)广义力泛指力与力矩； 广义位移为广义力所 F1 d1 直接产生的位移和转 角，如力产生位移， 力矩产生转角；
2)线弹性情况下，广义力与 广义位移成线性关系。
d2
F2
d3 F3
2．弹性应变能 1)弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值， 与加力的次序无关；
§10-2 弹性应变能的计算
u
1
2
1
1
非线性
U W
d 0
1
Fdd
非线性
u
1
0
d
余能：线弹性 U*U 12F1d1 余比能：线弹性 u*u 12 11
非线性
U
*
F1 0
d
dF
非线性
u*
0
1
d
§10-3 互等定理
一、功和位移互等定理
1．推导：以简支梁为例
1)先加F1再加F2 ，二 力作的总功为
U1 W1 12F1d11 12F2d 22 F1d12
2)弹性应变能
a)等比例加载，使Fi同时由零到终值，则d i也同时由零
到终值；
b)引进参数b (0～1)，则有b Fi和与之对应的bd i，给b 一个增量db，则位移有相应的增量dbd i。
外力在位移增量上作的功为
dW (bFi dbFi )•(dbdi ) (Fid i )bdb c)外力总功 W dW (Fid i )01bdb (12Fid i ) d)弹性体中的应变能 U W (12Fid i )
U
U
弯
U
剪
F 2l3 96EI
F 2l
8GA
U
剪
2
l/2
0
2G A(
F 2
)2
dx
F 2l
8GA
U
剪
:U
弯
12EI
GAl 2
152(1
)(
h l
)
2
矩形截面梁： 6/5，I / Ah2 /12，G E/[2(1 )]
取 =0.3，h/l=0.1，上述比值为0.0312。可见对长梁可不考虑剪
切应变能。
3．弯曲
1)dx段应变能
d
dU
12 M
(
x
)d
1 2
M
(
x )dx
M(x)
M(x)
M 2 ( x)dx
2 EI
2)l 段应变能
dx
U
ldU
0
l 0
M2(x 2 EI
)dx
§10-2 弹性应变能的计算
4．剪切
1)dx段应变能
dU
12(A)(
d
x
)
2 d xA 2G
FQ2dx 2GA
A
2)l 段应变能
2)求C点挠度：由外力功等于应变能(W=U)，并忽略剪切应变能有
W
1 2
Ff
C
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
三、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
非线性
与比能
U*
线性
u*
线性
2．余能与 余比能
F1
1
U
u
d
d1
1
应变能：线弹性
U W
1 2
F1d
1
比能：线弹性
3K 2
F3 3 A3 K
2
4)由克罗第—恩格塞定理：d
BV
U * F
5F 2b A2K 2
C
R F
B x a
Fs
解：1)求铅垂位移fCV
CB段：M ( )
FRsin
，M (
F
)
Rsin
BA段：M ( x)FR，M ( x) R
F
fCV
1 EI
0/2F R3 sin2 d 0aFR2dx
FR2 ( R a) EI 4
2)求水平位移fCH：C点无水平力，虚加Fs
A
CB段：M BA段：M
)
Fx2
F
0
(
x2
l) 2
，
M ( x2 F
)
x2
f
B
1 EI
l/ 0
2
Fx12dx1
l l/2
Fx2
F
0
(
x2
l 2
)
x2dx2
7Fl 3 16EI
§10-4 卡氏第二定理
例10-6 图示桁架用幂强化材料制造，应力、应变关系为 =K 1/2(K为常
数)。两杆的横截面面积均为A，求集中力F作用点B处的位移。
F
A ① B dBH
解：1)使用节点分析法知： FN1 F ，FN2 2F
45o
dBV
=K 1/2
b
②
各杆中的应力为
1 F / A， 2 2F / A
2)①杆的余比能为
C 3)桁架总余能：U * (u1*
2u2*
)
Ab
5F 3 A2
3b K2
u1*
1 0
d
1 2
0 K2
d
3 1
第十章 能 量 法
• §10-1 概 述 • §10-2 弹性应变能的计算 • §10-3 互等定理 • §10-4 卡氏第二定理 • §10-5 虚功原理*
第十章 能 量 法
• §10-6 单位载荷法 • §10-7 图乘法(维利沙金法) • §10-8 瑞利—李兹法* • §10-9 超静定结构的基本解法 • §10-10 力法 正则方程* •小 结
1)求梁的挠曲线方程(用卡氏定理)；
2)若在梁中截面再作用集中力F，求自由端挠度fB。 x2
Fl+Fsx
x1 Fs
A
C
F Bx
x
F+Fs
l
解：1)求梁的挠曲线方程 在距梁左端x处虚加Fs
AC段：M (
x1 )
F (l
x1
) Fs
(
x
x1
)
，
M ( x1 Fs
)
x
x1
CB段：M ( x2
) F (l
x2
a)分段变化
b)为杆长x的函数
U
n
U
i1
i
in12FEN2iAlii
U
ldU
0
l FN2 ( x) dx 02EA( x)
2)比能
u dU dV
[FN2 ( x)dx]/[2EA( x)] A( x)dx
2
FN2 ( x EA2 (
) x
)
2 1
2E 2
1E
2
2
§10-2 弹性应变能的计算
§10-3 互等定理
二、互等定理的应用
例10-2 任意形状弹性体承受一对等值、反向、共线的力F作用，材料的
弹性常数为E、，试用功的互等定理，求弹性体的体积改变。
A F
d
A
B
F
p
p
p
B
p
解：1)设在同一个弹性体的表面上作用均匀压应力p
此时弹性体处于三向均压状态： 1 2 3 p
任意方向的线应变为： [ 1 ( 2 3 )]/ E (12 ) p/ E
克拉贝依隆原理：线弹性体应变能等于每一广义外力
与其产生广义位移乘积二分之一的总和。
§10-2 弹性应变能的计算
3)弹性应变能可以表达成外力或位移的唯一表达式，
称为外力的二次齐函数或位移的二次齐函数。
二、杆件应变能的计算
1．轴向拉伸或压缩
l
1)应变能
U
W
12FDl
U
FN2 l 2 EA
F Dl
若轴力FN或截面面积A为变量时
3)应变能是内力的函数，是外力的复合函数，计算偏微分
时，可先求内力对Fi的导数再积分
U
l
FN2 ( x 2 EA
)dx
l
M2(x 2 EI
)dx
lT2G2 (Ixp)dx
d
i
U Fi
l
FN ( EA
FN Fi
)dx
l
M EI
(
M Fi
)dx
lGTI
p
(
T Fi
)dx
§10-4 卡氏第二定理
a)只有轴力的桁架
(
(x
) )
FRsin Fs
FRFs ( R
Rx)(，1cMosF(sx)，)M( RF(s
) x)
R(1cos
)
fCH
(
U Fs
) Fs
0Leabharlann 1 EI0/2FR3
sin
(1cos
)d 0aFR( R
x )dx
FR( Ra)2 EI
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂集中力F，梁的EI已知，