第十章 能量法10-1 图示桁架，已知各杆的EA 相等，试求在载荷F 作用下桁架的应变能。

解：1．支反力∑=0x F ：0=-Ax F F F F Ax =∑=0B M ：02=⨯-⨯l F l F Ay ，2F F Ay =∑=0y F ：0=-By Ay F F ，2F F By = 2．各杆的轴力由结点A 的平衡可求得 2N FF AC =，2N F F AD =由结点B 的平衡可求得2N F F BC -=，2N F F BD = 由结点D 的平衡可求得 0N =CD F3．桁架的应变能[]()EAl F l l F l F l F l F EA l F l F l F l F l F EAEA l F U CDCD BD BD AD AD BC BC AC AC ii 4122 022222221 21 2222222N 2N 2N 2N 2N 2N +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++==∑10-2 图示传动轴，已知轴的直径m m 40=d ，材料的弹性模量GPa 210=E ，切变模量GPa 80=G 。

试求轴的应变能。

解：4444p cm 8cm 32432πππ=⨯==d I 4p cm 42π==I I作用在轮上的合力为：kN 06.1kN 36.0122=+=F()()m N m 4.02.0 4.0530m2.00 035⋅⎩⎨⎧≤≤-≤≤=x x x x x M ()m N m 4.02.0 80m2.00 0⋅⎩⎨⎧<<<≤=x x x T ()()m m N 8.31m N 108108022.04.080 d 80212d 892.40 .20 2p p2⋅=⋅⨯⨯⨯⨯-⨯===-⎰⎰πxGI GI x x T U l T()()m mN 4.28m N 1041021032.0530 d 53012d 8932.20 02 2⋅=⋅⨯⨯⨯⨯===-⎰⎰πx x EI EI x x M U l M∴ 轴的应变能：m m N 2.60⋅=+=T M U U U10-3 图示桁架，各杆的EA 相等。

试求结点C 的水平位移和垂解：用单位载荷法求解。

如图所示，在结点C 分别沿水平和垂直方向杆件杆长i l 由F 、所引起的轴力i F N 由单位水平力所引起的轴力i F N 由单位竖直力所引起的轴力i F N ' AB l F 2-0 0 BC lF 0CD l F1-1-AD l0 ACl 2 F 2- 2结点C 处的水平位移：()22151N N EAFlEA l F F i i i i CH +==∑=δ 垂直位移：)( 51NN ↑='=∑=EAFl EA l F F i i i i CV δEI 为常数）。

解：用卡氏定理求解1．求截面B 的挠度，在截面B 作用零值附加力s F当0≤x ≤a ，()()()x l F x a q x M ----=s 22，()()x l F x M --=∂∂s 当a ≤x ≤l ，()()x l F x M --=s ， ()()x l F x M --=∂∂s()()()EIa l qa dx x l x a EI q x F x M x M EI F U y a l F F B 244)()(2 d 1302 0 0s 0s ss -=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰==2．求截面B 的转角，在截面B 作用零值附加力偶es M当0≤x ≤a ，()()es 22M x a q x M ---=，()1es -=∂∂M x M当a ≤x ≤l ，()es M x M -=，()1es-=∂∂M x M ()()EI qa x M x M x M EI M U l M M B 6d 130 0es 0es es es =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰==θEI解：用单位载荷法求解如图所示，在截面A 处分别作用一水平方向单位力、铅垂方向单位力和一顺时针方向单位力偶，并分别求出由荷载F 以及单位力和单位力偶所引起的内力，列表计算如下：杆段 由载荷F 所引起的弯矩()i x M 由水平单位力所引起的弯矩()i x M 1 由铅垂单位力所引起的弯矩()i x M 2 由单位力偶所引起的弯矩()i x M 3 AB 1Fx - 01x - 1- BCFl -2x -l -1-截面A 的水平位移： 2d 120 22EIFlhx Flx EI hAH ==⎰δ 截面A 的竖直位移：() 33d d 12 0 0 22121EI h l Fl x Fl x Fx EI l h AV+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰δ截面A 转 角：()EIh l Fl x Fl x Fx EI l h A 22d d 1 0 0 211+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰θEI 相等。

试求截面A 和B 的位移。

解：用单位载荷法求解 在A 、B 点分别作用一铅垂方向与水平方向的单位力，如图所示，并分别求出由荷载q 以及单位力所引起的内力，列表计算如下：杆段 由q 所引起的弯矩()i x M由A 竖直单位力所引起的弯矩()i x M 由B 水平单位力所引起的弯矩()i x M 'DE 01x DA 22222qx qlx - 22x h利用对称性截面A 的竖铅垂位移：)( 3845d 222242 0 22222↓=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰EI ql x x qx qlx EI l AV δ 截面B 的水平位移：)( 12d 22232 0 2222→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰EI h ql x h qx qlx EI l BH δ截面A 的水平位移：)( 24213→==EIh ql BH AH δδ10-7 图示刚架，各杆的EI 相等。

试求在一对力F 的作用下截面A 和B 之间的相对位移和相对转角。

解：用单位载荷法求解由于结构和载荷的对称性，取刚架对称轴的一侧来求解AB δ和AB θ在A 截面分别作用一水平单位力和一单位力偶，如图所示，列表计算如下：杆段 由载荷F 所引起的弯矩()i x M由水平单位力所引起的弯矩()i x M 由单位力偶所引起的弯矩()i x M 'AC 1Fx - 1x - -1 CEFh -h --1A 、B 两点之间的相对位移：⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰a h EI Fh x Fh x Fx EI h aA AB 32d d 222 020 22121δδ A 、B 两截面的相对转角：()a h EI Fh x Fh x Fx EI h a A AB +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰ 0 2 0 211d d 22θθ10-8 图示细圆环，平均半径为R ，抗弯刚度为EI ，在切口处嵌解：在块体嵌入后，块体与切口截面之间产生水平作用力F ，两切口截面之间产生水平相对位移e 任意一θ截面的弯矩为 ()()θθcos 1-=FR M()()θθcos 1-=∂∂R FM 根据卡氏定理切口处两截面之间的水平相对位移()()()EIFR EI FR s F M EI M e l 320 3 3d cos 12d πθθθθπ=-=∂∂=⎰⎰由此可求得33ReEIF π= ∴ ()2max 322ReEI FR M M ππ===10-9 图示外伸梁，抗弯刚度为EI 。

不计弯曲剪力的影响，试用图乘法求自由端A 的挠度和支座C 截面的转角。

解：用叠加法作梁在F 和q 共同作用下的M 图，并作梁仅在A 、C 处分别作用一竖直单位力和一单位力偶时的的M 和'M 图，如图所示。

由图乘法求得()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯=++=832832 3221322111323222332211l l a a EI qa a l ql a l qa a a qa EI M M M EI y C C C A ωωω()()()EI l a ql l ql l qa EI M M EIC C C 2442183231211 122223322-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯=+=ωωθ10-10 试求图示超静定梁的支反力。

设固定端沿梁轴线的反力可以忽略。

解：为二次超静定问题。

由对称性可得：2qlF F By Ay ==，B A M M = 化为一次超静定问题。

以A M 为多余约束，取静定基如图所示()AAAy Mx lx q M qx x F x M --=--=)(22122()1-=∂∂A M x M 由卡氏定理()()0121 d )(21d 130 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∂∂=⎰⎰A ll A A M ql EI x M x lx qEIx x x M x M EIθ可得：122ql M A =10-11解：为一次超静定问题。

1．用卡氏定理求多余约束力，以C 截面处的约束为多余约束AB 段：()11x F x M C =，()11x F x M C =∂∂ BC 段：()22Fx a F x M C -=，()a F x M C =∂∂2 由卡氏定理()()()()()0234 d d 1 d d 3 0 22 0 121 0222 0111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∂∂+∂∂=∂∂=⎰⎰⎰⎰F F EI a x a Fx a F x x F EI x F x M EIx Mx F x M EIx M F U y C a C a C a Ca CCC可求得：83F F C =2．作刚架的内力图10-12 图示杆系，各杆的EA 相等。

试用力法求各杆的内力。

(a)(d )解：为一次超静定问题。

1． 求多余约束力以C 处约束为多余约束，得到静定基，如图(b)所示，力法正则方程为0111=∆+F C F δ分别求出静定基在F 作用下（图(c )）在单位力作用下（图(d )）各杆的内力i F N 和i F N ，列表计算如下（根据对称性，32N N F F =）i i N i N ① l1 ②③αcos l αcos 2Fαcos 21-α331N N 1cos 2EA FlEA l F F i i i i F -==∆∑= ⎪⎭⎫⎝⎛+==∑=1cos 21331N N 11αδEA l EA l F F i i i i ∴ αδ3111cos 21+=∆-=FF F C2． 求各杆的内力α31N cos 21+==FF F C取结点D 为研究对象（图(a )）0=∑yF： 0cos 22N 1N =-+F F F α由此求得ααα321N 2N cos 21cos cos 2+=-=F F F F10-13 图示结构，AB 梁和梁CD 的抗弯刚度均为26m N 1024⋅⨯=EI ，2mm =a 。