第10章 习题解答10-1 两根材料相同的圆截面直杆，其形状和尺寸如图所示。

试比较两杆的变形能。

解：22222d E lF EA l F U a a π== 2222222287283241286d E l F d E l F d E l F EA lF EA l F U a b b π=π+π=⋅+⋅=716872==b a U U10-2 已知图示等截面外伸梁的抗弯刚度EI ，试求梁的变形能及A 截面的转角。

解：1. 支反力 l M F F C B 02==2. 弯矩AB 段：01M x M =）（ （0≤x 1≤l /2）CB 段：2022x l M x M =）（ （0≤x 2≤l /2） 3. 变形能 EI lM dx x l M dx M EI U ll 3421202022222020120=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰⎰4. 位移 EI l M U M A 321200==θ ，EIl M A 320=θ（）10-3 图示桁架各杆抗拉压刚度EA 均相等，试求桁架的变形能及C 点的水平位移。

（a ）（b ）（a ）（b ） 3 （c ）BF DB解：1. 支反力 F F Ax = ，2F F F B Ay == 2. 各杆长度 l l l 231== ，l l l l ===5423. 各杆轴力 由节点B 的平衡条件得F N 223=（压），25F N =（拉）； 由节点 D 的平衡条件得02=N ，24FN =（拉）；由节点C 的平衡条件得F N 221=（拉）。

4. 变形能 EA l F EA l F l F l F EA U 2222957.0412222222221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= 5. 位移 EA l F F CH 2957.021=∆ ，EAFlCH 914.1=∆（→）10-4 图示等截面曲杆为1/4圆周，其抗弯刚度EI 已知，试求曲杆的变形能及B 点的铅垂位移。

解：1 弯矩 θ=θs i n FR M ）（ （0≤θ≤π/2）变形能 ⎰ππ=θ⋅θ=20322228sin 21EIR F Rd R F EIU 位移 EI R F F BV 82132π=∆EIFR BV43π=∆（↓） 10-5 图示阶梯形变截面圆轴两端承受扭矩M n 作用，d 2 = 1.5d 1，材料的切变模量G 已知，试求圆轴的变形能及圆轴两端的相对扭转角。

解：1. 圆轴扭矩 M n = T2. 变形能 ⎰=2011221l P ndx I M G U ⎰+2022221l P n dx I M G 124P GI l T =224P GI lT +41281776Gd l T π= 3. 位移 ϕT 2141281776Gd l T π= ， 41811552Gd Tl πϕ=B的弹簧刚度k，试求截面C的挠度。

解：1. 支反力32FF A=，3FF B=2. 内力梁的弯矩：AC段1132FxxM=）（（0≤x1≤l/3）BC段2231FxxM=）（（0≤x2≤2l/3）弹簧轴力：3FN=3. 在C点施加单位力，单位力引起的内力梁的弯矩：AC段1132xxM=）（（0≤x1≤l/3）BC段2231xxM=）（（0≤x2≤2l/3）弹簧轴力：310=N4. 莫尔积分⎰=3121941lCdxFxEIv⎰+32222911ldxFxEI kFEIFlFk9243431313+=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+（↓）10-7图示简支梁B端悬吊在直杆CB上，已知梁的抗弯刚度EI和杆的抗拉刚度EA，试求梁中点D的挠度。

解：1. 载荷引起的内力杆：2qlN=梁：AD段2212qxxqlxM-=）（（0≤x≤l/2）2. 在D点施加单位力，单位力引起的内力杆：21=N梁：AD段xxM210=）（（0≤x≤l/2）3. 莫尔积分EAqlaEIqlqlEAaxdxqxxqlEIvlD43845212212122422+=⋅⋅+⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰（↓）10-8 试求图示简支梁A 截面的转角，已知梁的抗弯刚度EI 。

解：1. 支反力 qa F A 41= ，qa F B 43=2. 弯矩 AC 段：1141qax x M =）（ （0≤x 1≤a ）BC 段： 22222143qx qax x M -=）（ （0≤x 2≤a ） 3. 在A 截面施加单位力偶，单位力偶引起的支反力和内力支反力 a F A 210=（↓），aF B 210=（↑） 弯矩 AC 段： 11011x 2ax M -=）（ （0≤x 1≤a ） BC 段： 2201x 2ax M =）（ （0≤x 2≤a ） 4. 莫尔积分 ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=θa A dx x a qax EI0111211411⎰⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a dx x a qx qax EI 0222222121431EIqa 4873=）10-9 试求图示变截面梁A 截面转角和B 截面的挠度，已知材料的弹性模量E 。

解：1. 支反力 a M F A 20=（↓），aMF C 20=（↑）2. 弯矩 AC 段：1012x aM x M =）（ （0≤x 1≤2a ） BC 段： 01M x M =）（ （0≤x 2≤a ） 3. 计算A 截面转角在A 截面施加单位力偶，单位力偶引起的弯矩 AC 段： 11110-=x 2a x M ）（ （0≤x 1≤2a ）BC 段： 020=）（x M （0≤x 2≤a ）莫尔积分 ⎰-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=θa A EI a M dx x a x a M EI20011106121221）（4. 计算B 截面挠度 在B 截面施加单位力，单位力引起的弯矩qAC 段： 1101x 2x M =）（ （0≤x 1≤2a ） BC 段： 220x x M =）（ （0≤x 2≤a ）莫尔积分 120210421dx x a M EIv a B ⎰=EIa M dx x M EIa 651202020=+⎰（↓）10-10 已知图示组合梁的抗弯刚度EI ，试求中间铰B 左右两截面的相对转角。

（提示：在中间铰B 两侧加一对单位力偶，分别写出两边弯矩方程，并注意到中间铰处的弯矩为零。

） 解：1. 载荷引起的弯矩BA 段： 21qx 2x M =）（ （0≤x ≤l ） 2. 在中间铰B 的两边施加一对单位力偶，单位力偶引起的弯矩BA 段： lxx M +=10）（ （0≤x ≤l ） 3. 莫尔积分 EI ql dx l x qx EIl2471211302=⎪⎭⎫⎝⎛+=θ⎰10-11 外伸梁受力如图所示，M = Fl/4，已知抗弯刚度EI ，试用图乘法求D 点的铅垂位移和B 截面的转角。

解：分别画出集中力F 和力偶M 引起的弯矩图，在D 点施加铅垂单位力，在B 截面施加单位力偶，并分别画出单位力和单位力偶引起的弯矩图。

1. D 点的铅垂位移 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-=84211l l Fl EI v DV ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+4324211l l Fl EI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+8441l l Fl EI EI Fl 38453=（↓）2. B 截面的转角M 14 Fl 4 Fl l （M F ） （M M ） （M 0）（M 0）D⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=θ3128211l Fl EI B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+41281l Fl EI EIFl l Fl EI 9661282112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+10-12 图示外伸梁由于温差变化产生弯曲变形，已知梁顶面温度为t 1℃，梁底面温度为t 2℃（t 2＞t 1），设温度沿梁高h 为线形变化，材料的线膨胀系数为α，试求自由端C 的挠度。

解：用单位载荷法求解。

1. 由于温差引起微段梁两端相对转角（参阅例10-7）hdxt t d ）（12-=αθ2. 在C 端施加单位力，单位力引起弯矩AB 段： 110x lax M -=）（（0≤x 1≤l ） CB 段： 220x x M -=）（ （0≤x 2≤a ）3. 自由端C 的挠度 101211dx h t t x la EIv l C ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=）（α hl a a t t dx ht t x EIa211220122）（）（）（）（+--=--+⎰αα计算结果为负， C 点的挠度向上。

10-13 图示刚架由于沿截面高度线性变化的温差而弯曲变形（不计杆的拉压变形），设外表面温度为t 1℃，内表面温度为t 2℃（t 2＞t 1），AB 杆和BC 杆截面相同，高度均为h ，材料的线膨胀系数为α，试求自由端C 的水平位移、铅垂位移及转角。

解：用单位载荷法求解。

1. 由于温差引起微段杆两端相对转角（参阅例10-7）hdxt t d ）（12-=αθ2. 在C 端施加向上铅垂单位力，单位力引起弯矩CB 段： 110x x M =）（ （0≤x 1≤l ）C CBA 段： l x M =）（20（0≤x 2≤l ）10121dx ht t x l CV ⎰-=∆）（αht t l dx ht t ll 231222012）（）（-=-+⎰αα 3. 在C 端施加向左水平单位力，单位力引起弯矩CB 段： 010=）（x M （0≤x 1≤l ）； BA 段： 220x x M =）（ （0≤x 2≤l ）ht t l dx ht t x l CH 212220122）（）（-=-=∆⎰αα 4. 在C 端施加单位力偶，单位力偶引起弯矩CB 段： 110=）（x M （0≤x 1≤l ） BA 段： 120=）（x M （0≤x 2≤l ））（）（）（ht t l dx h t t l C 12201222-=-=⎰ααθ10-14 图示桁架各杆抗拉压刚度均为EA ，试求节点B 的水平位移和BC 杆的转角。

解：1. 载荷引起各杆的轴力由节点B 的平衡条件得 N 1 = F （拉） ，N 2= F （压）由节点C 的平衡条件得 N 3 = F /2 （拉） 2. 在节点B 施加向右水平单位力，单位力引起的轴力由节点B 的平衡条件得 330201==N N （拉），由节点C 的平衡条件得6303=N （压）。

B 点的水平位移 EAFl EA Fl EA Fl EA Fl BH 1231233333-=--=∆ （←） （↑）（←）F3. 在BC 杆两端节点B 和C 各施加一垂直杆轴线的单位力，单位力引起的轴力 由节点B 的平衡条件得 33201=N （拉），3302=N （压），由节点C 的平衡条件得3303=N （压）。