代数部分第三章：方程和方程组基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程 1、一元一次方程（ 1）一元一次方程的标准形式： ax+b=0 （其中 x 是未知数， a 、b 是已知数， a ≠ 0）（ 2）一元一次方程的最简形式： ax=b （其中 x 是未知数， a 、 b 是已知数， a ≠ 0）（ 3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（ 4）一元一次方程有唯一的一个解。
例题 ：.解方程： （ 1）1 x 1 x2 x 1xx3 3（ 2）32 2解：解：（ 3）【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1 ，则 m=。
2、一元二次方程（ ） 一般形式： 2bx c 0a1ax（ 2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式 ax 2bxc 0 a 0xbb 24ac b 24ac 02a错误 !未找到引用源。
、 解下列方程：（ 1） x 2－2x ＝ 0； （2）45－x 2＝0；（ 3） (1－3x)2＝1； （ 4） (2x ＋ 3)2－25＝0. （ 5）（t －2）（t+1） =0；（6）x 2＋8x －2＝0(7 )2x 2－6x －3＝0；（8）3（x － 5） 2＝2（5－x ）解：错误 !未找到引用源。
填空：（ 1） x 2 ＋6x ＋（ ）＝（ x ＋ ）2 ；（ 2） x 2 －8x ＋（ ）＝（ x － ）2 ；（ 3） x 2 ＋ 3x ＋（ ）＝（ ＋ ）2x 2（ 3） 判别式△＝ b2－4ac 的三种情况与根的关系当 0 时 有两个不相等的实数根 ， 当 0 时 有两个相等的实数根当0 时 没有实数根。
当△≥0时有两个实数根例题． 一、一元二次方程的解法例 1、解下列方程：（ 1） 1( x 3)22 ；（ 2） 2x 2 3x 1；（3） 4(x 3) 225( x 2) 22例 2、解下列方程：（1） x 2a(3x 2a b) 0( x 为未知数 ) ；（ 2）x 22ax 82a（．无锡市）若关于 x 的方程 x 2＋2x ＋ k ＝ 0 有两个相等的实数根，则 k 满足 ()3A.k ＞1B.k≥1C.k＝1D.k ＜14.（常州市）关于 x 的一元二次方程 x 2(2k 1)x k1 0 根的情况是（ ）（ A ）有两个不相等实数根（ B ）有两个相等实数根（ C ）没有实数根（ D ）根的情况无法判定5．（浙江） 已知方程x 22 pxq有两个不相等的实数根， 则p、q满足的关系式（ ）A 、p 24q 0B 、p 2q 0C 、p 24q 0D 、p 2q 06.根与系数的关系： x 1＋x 2=b，x 1x 2=ca a例题：（浙江富阳市）已知方程 3x 2 2x 11 0 的两根分别为 x 1 、x 2 ，则11x 1x 2的值是（ ）A 、 2B 、 11C 、2D 、 11112112例 3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程x2x 5的两个根小 3根的判别式及根与系数的关系例 4、已知关于 x 的方程： ( p 1)x 22 px p3 0 有两个相等的实数根，求p 的值。
x 22x 10（1）a2 b 2；（2）11a b分式方程的解法步骤：（1）一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验（2）换元法例题：错误! 未找到引用源。
、解方程： 4 1 1 的解为x 2 x4 2x 2 40 根为x2 5x 6错误 ! 未找到引用源。
、【北京市海淀区】当使用换元法解方程( x )2 2( x ) 3 0 时，若设yx，则原方程可变形为（）A．y2＋xx 1 x 1 y＋＝．y 1 ． y2－ y－＝y＋＝． y2－2＋y－＝2 30B 2 30C 2 30D 23 0（ 3）、用换元法解方程x2 3xx2 3 4 时，设y x2 3x ，则原方程可化为（）3x（ A）34 03 1 1y （） 4 0 （） 4 0 （）y 4 0 y y 3y 3y例、解下列方程：（2） 2 11 1；（2）x22 6x 51 x2 x x x 2 26、应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、面积问题）（ 3）方程组实际中的运用例题：错误 ! 未找到引用源。
轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行60 千米所需的时间相同 .已知水流的速度是 3 千米 /时，求轮船在静水中的速度 . （提示：顺水速度 =静水速度 +水流速度，逆水速度 =静水速度 -水流速度）解：错误 !未找到引用源。
乙两辆汽车同时分别从A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城 .已知 A、C 两城的距离为 450 千米， B、 C 两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10千米 /时，结果两辆车同时到达 C 城 .求两车的速度解错误 !未找到引用源。
某药品经两次降价，零售价降为原来的一半 .已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率 .（精确到 0.1%）解错误 !未找到引用源。
【 05 绵阳】 已知等式(2A- 7B) x+(3 A- 8B)=8 x+10 对一切实数 x 都成立，求 A 、 B 的值解错误 !未找到引用源。
【 05 南通】某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款 ,共捐款100 元 .捐款情况如下表：捐款（元） 1 234 人数67表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款 2 元的有 x 名同学 ,捐款 3 元的有 y 名同学 ,根据题意 ,可得方程组x y 27 x y 27 x y 27x y 27A 、3yB 、2 x3 y 100C 、2y66 D 、2 y 1002x 663x 3x解错误 !未找到引用源。
已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数 .错误 !未找到引用源。
一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形， 折成一个无盖的长方体水槽， 使它的底面积为 800 平方米 .求截去正方形的边长 .解：四、方程组代入消元 4、 方程组 ： 三元一次方程组二元一次方程组加减消元二元 (三元 )一次方程组的解法：代入消元、加减消元xy7, x 2 y 0例题：解方程组y8.3x 2 y 82 x 例 7、解下列方程组：2x 3y 3 x y 2z 1 （ 2） 2x y z 5（1）2 y；x 5x y3z 4例 8、解下列方程组：代入消元 加减消元 一元一次方程x y 112 33x 2 y 10x y 7 3x 2 xy 4 y 2 3x 4 y 0（1）； （ 2）2 y 225xy 12x列方程（组）解应用题知识点：一、列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组） ；4、解方程（组） ；5、检验，作答；二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系； 1、工程问题（ 1）基本工作量的关系：工作量 =工作效率×工作时间（ 2）常见的等量关系：甲的工作量 +乙的工作量 =甲、乙合作的工作总量（ 3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 2、行程问题（ 1）基本量之间的关系：路程 =速度×时间（ 2）常见等量关系： 相遇问题：甲走的路程+乙走的路程 =全路程追及问题（设甲速度快）：同时不同地：甲的时间 =乙的时间；甲走的路程–乙走的路程 =原来甲、乙相距路程同地不同时：甲的时间 =乙的时间–时间差；甲的路程 =乙的路程3、水中航行问题：顺流速度 =船在静水中的速度+水流速度；逆流速度 =船在静水中的速度–水流速度4、增长率问题：常见等量关系：增长后的量=原来的量 +增长的量；增长的量=原来的量×（ 1+增长率）；5、数字问题：基本量之间的关系：三位数 =个位上的数 +十位上的数× 10+ 百位上的数× 100 三、列方程解应用题的常用方法1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题：例 1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作 5 天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作 1 天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用 2 天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？例 2、某部队奉命派甲连跑步前往90 千米外的 A 地， 1 小时 45 分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28 千米，恰好在全程的1处追上甲连。
3求乙连的行进速度及追上甲连的时间例 3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60 台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多 50%，结果提前 2 天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？例 4、某商厦今年一月份销售额为60 万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降 10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96 万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？例 5、一年期定期储蓄年利率为 2.25%，所得利息要交纳 20%的利息税，例如存入一年期100 元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：税后利息 = 100 2.25% 100 2.25% 20% 100 2.25%(1 20%)已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450 元，问该储户存入了多少本金？例 6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。
若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？。