代数部分 第三章:方程与方程组基础知识点:一、方程有关概念1、方程:含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程 1、一元一次方程(1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0) (2)一元一次方程的最简形式:ax=b(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0)(3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项与系数化为1。
(4)一元一次方程有唯一的一个解。
例题:、解方程: (1) 3131=+-x x (2)x x x -=--+22132 解: 解:(3)【05湘潭】 关于x 的方程mx+4=3x+5的解就是x=1,则m= 。
2、一元二次方程（1） 一般形式:()002≠=++a c bx ax（2） 解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002≠=++a c bx ax ()042422≥--±-=ac b aac b b x ①、解下列方程:(1)x 2－2x ＝0; (2)45－x 2＝0;(3)(1－3x )2＝1; (4)(2x ＋3)2－25＝0、 (5)(t －2)(t +1)=0; (6)x 2＋8x －2＝0(7 )2x 2－6x －3＝0; (8)3(x －5)2＝2(5－x ) 解:② 填空:(1)x 2＋6x ＋( )＝(x ＋ )2; (2)x 2－8x ＋( )＝(x － )2;(3)x 2＋23x ＋( )＝(x ＋ )2(3)判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系 当0>∆时有两个不相等的实数根 ,当0=∆时有两个相等的实数根当0<∆时没有实数根。
当△≥0时 有两个实数根例题.一、一元二次方程的解法例1、解下列方程: (1)2)3(212=+x ;(2)1322=+x x ;(3)22)2(25)3(4-=+x x 例2、解下列方程:(1))(0)23(2为未知数x b a x a x =+--;(2)08222=-+a ax x3.(无锡市)若关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根,则k 满足 ( )A 、k ＞1B 、k ≥1C 、k ＝1D 、k ＜14、(常州市)关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况就是( )(A)有两个不相等实数根(B)有两个相等实数根(C)没有实数根(D)根的情况无法判定5.(浙江)已知方程022=++q px x 有两个不相等的实数根,则p 、q 满足的关系式( )A 、042>-q pB 、02>-q pC 、042≥-q p D 、02≥-q p6、根与系数的关系:x 1＋x 2=ab-,x 1x 2=a c例题: (浙江富阳市)已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ,则2111x x + 的值就是( ) A 、112 B 、211 C 、112-D 、211-例3、求作一个一元二次方程,使它的两个根分别比方程052=--x x 的两个根小3 根的判别式及根与系数的关系例4、已知关于x 的方程:032)1(2=+++-p px x p 有两个相等的实数根,求p 的值。
例5、已知a 、b 就是方程0122=--x x 的两个根,求下列各式的值: (1)22b a +;(2)ba 11+ 分式方程的解法步骤:（1） 一般方法:选择最简公分母、去分母、解整式方程,检验 （2） 换元法例题:①、解方程:211442-=+-x x 的解为 065422=++-x x x 根为 ②、【北京市海淀区】当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x x x x 时,若设1+=x x y ,则原方程可变形为( )A.y 2＋2y ＋3＝0 B.y 2－2y ＋3＝0 C.y 2＋2y －3＝0 D.y 2－2y －3＝0(3)、用换元法解方程433322=-+-xx x x 时,设x x y 32-=,则原方程可化为( ) (A)043=-+y y (B)043=+-y y (C)0431=-+y y (D)0431=++yy 例、解下列方程:(2)111122-+=-x x ;(2)526222=+++x x x x 6、应用:(1)分式方程(行程、工作问题、顺逆流问题)(2)一元二次方程(增长率、面积问题)(3)方程组实际中的运用例题:①轮船在顺水中航行80千米所需的时间与逆水航行60千米所需的时间相同、已知水流的速度就是3千米/时,求轮船在静水中的速度、(提示:顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度) 解:②乙两辆汽车同时分别从A 、B 两城沿同一条高速公路驶向C 城、已知A 、C 两城的距离为450千米,B 、C 两城的距离为400千米,甲车比乙车的速度快10 千米/时,结果两辆车同时到达C 城、求两车的速度 解③某药品经两次降价,零售价降为原来的一半、已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率、(精确到0、1%) 解④【05绵阳】已知等式 (2A -7B ) x +(3A -8B )=8x +10对一切实数x 都成立,求A 、B 的值解⑤【05南通】某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元、捐款情况如下表:捐款(元) 1 2 3 4 人 数67表格中捐款2元与3元的人数不小心被墨水污染已瞧不清楚、若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元的有y 名同学,根据题意,可得方程组A 、272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B 、2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C 、273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D 、2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩解⑥已知三个连续奇数的平方与就是371,求这三个奇数、⑦一块长与宽分别为60厘米与40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方米、求截去正方形的边长、解:四、方程组 4、 方程组:−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元(三元)一次方程组的解法:代入消元、加减消元例题:解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x20328x y x y -=⎧⎨+=⎩ 11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 例7、解下列方程组:(1)⎩⎨⎧=-=+52332y x y x ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=-+435212z y x z y x z y x 例8、解下列方程组:(1)⎩⎨⎧==+127xy y x ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+---2543432222y x y x y xy x列方程(组)解应用题知识点:一、列方程(组)解应用题的一般步骤 1、审题: 2、设未知数;3、找出相等关系,列方程(组);4、解方程(组);5、检验,作答;二、列方程(组)解应用题常见类型题及其等量关系; 1、工程问题(1)基本工作量的关系:工作量=工作效率×工作时间(2)常见的等量关系:甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量 (3)注意:工程问题常把总工程瞧作“1”,水池注水问题属于工程问题 2、行程问题(1)基本量之间的关系:路程=速度×时间 (2)常见等量关系:相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题(设甲速度快):同时不同地:甲的时间=乙的时间;甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时:甲的时间=乙的时间–时间差;甲的路程=乙的路程 3、水中航行问题:顺流速度=船在静水中的速度+水流速度; 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 4、增长率问题:常见等量关系:增长后的量=原来的量+增长的量;增长的量=原来的量×(1+增长率); 5、数字问题:基本量之间的关系:三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100 三、列方程解应用题的常用方法1、译式法:就就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式,然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法:就就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系,然后根据线段长度的内在联系,找出等量关系。
3、列表法:就就是把已知条件与所求的未知量纳入表格,从而找出各种量之间的关系。
4、图示法:就就是利用图表示题中的数量关系,它可以使量与量之间的关系更为直观,这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题:例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程,合作5天后,甲组另有任务,由乙组再单独工作1天就可完成,若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天,求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A 地,1小时45分后,因任务需要,又增派乙连乘车前往支援,已知乙连比甲连每小时快28千米,恰好在全程的31处追上甲连。
求乙连的行进速度及追上甲连的时间例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪,由于改进了操作技术;每天生产的台数比原计划多50%,结果提前2天完成任务,求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？例4、某商厦今年一月份销售额为60万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降10%,以后经加强管理,又使月销售额上升,到四月份销售额增加到96万元,求三、四月份平均每月增长的百分率就是多少？例5、一年期定期储蓄年利率为2、25%,所得利息要交纳20%的利息税,例如存入一年期100元,到期储户纳税后所得到利息的计算公式为:税后利息=%)201%(25.2100%20%25.2100%25.2100-⨯=⨯⨯-⨯已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息就是450元,问该储户存入了多少本金？例6、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,减少库存,商场决定采取适当的降低成本措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？。