海南大学2015-2016学年度第1学期试卷
科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷)
学院： 专业班级： 姓名： 学 号：
成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）
阅卷教师： 年 月 日
考试说明：本课程为闭卷考试。

一、 判断题(每题1分，共5分)
（说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。

）
（ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。

（ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。

（ ）3、如果 ，则z =0。

（ ）4、z =0是 的一级极点。

（ ）5、如果 在区域D
内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。

二、 填空题(每题3分，共15分)
1、 。

2、设f(z)=z cos z ，则 。

)('z f =)0()2016(f 0=z e =⎰dz z z 2
0sin )1
sin()(z z f =
3、 的收敛半径= 。

4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。

5、 。

三、 计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。

）
1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
2、求
3、求).31(i Ln -
4、求函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=.3,
0,31,
2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分）
1、计算积分 dz z z z z C ⎰++-)
4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、 利用留数定理计算
其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分）
3、解微分方程 其中，f (t )为已知函数。

(10分)
4、设函数 (1)把函数 f(z) 在
内展开成洛朗级数。

（10分） (2)求积分 （5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数，
=⎰+∞∞
dt )(-t δn
n n z i ∑∞
=+0)43(.522
i i i -+.
)33(31i ++∞<<||1z .
)(3||dz z f z ⎰=,1
)/1sin()(-=z z z z f ).()()(4
4
t f t y t y dt d =+⎰+-C dz z z z ，)
1()1(34
(1)写出f 满足的柯西-黎曼方程。

(5分)
(2)证明f(z) 是常数。

（10分）
判断题
（说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。

）
（ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。

（ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。

（ ）3、如果 ，则z =0。

（ ）4、z =0是 的一级极点。

（ ）5、如果
在区域D 内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。

填空题
1、 。

2、设f(z)=z cos z ，则 。

3、 的收敛半径= 。

4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。

5、 。

计算题
1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
2、若i w 333+=，求.w
3、若i e w 31-=，求.w
4、求函数252)(z
z z f +=无穷远点的留数. 5、计算积分 232||5sin (1)(3)
z z dz z z =+-⎰. )('z f =)0()2016(f =⎰+∞∞
dt )(-t δn n n z i ∑∞=+0)43(0=z e =⎰dz z z 2
0sin .5
22i i i -+)1sin()(z
z f =
6、求函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=.
3,0,
31,2,
10,
1)(t t t t f 的Laplace 变换.
解答题
1、 利用留数定理计算 其中C 为正向圆周：|z|=2.
（10分） 2、解微分方程⎰∞-=-'t
t dt t x t x )(2)()(δ. (10分)
3、设函数 (1)把函数 f(z) 在 内展开成洛朗级数。

（10分）
(2)求积分 （5分）
4、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且|f (z )|是一个常数，
(1)写出f 满足的柯西-黎曼方程。

(5分)
(2)证明f(z) 是常数。

（10分）
+∞<<||1z .)(3||dz z f z ⎰=,
1)
/1sin()(-=z z z z f ⎰+-C dz z z z
，)1()1(34。