为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特 征，对式(4-4)有较深刻的理解，现在分别说明流 体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变 形运动、角变形运动和旋转运动。
为简化分析，仅讨论在 x平oy面上流体微团的运
动。假设在时刻 ，t流体微团ABCD为矩形，其上
各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的 速度不同，经过时间 ，d t势必发生不同的运动， 微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。
在运动流体中，在时刻t 任取一正交六面体流体微团，其边长分别为 dx 、d y 、dz ，
如图 4-1 所示。当选取该流体微团上的 F(x ，y ， z )点为参考点时，则该点的速度分
量分别为u (x ， y ，z )、v(x ， y ，z )、w (x ，y ，z )，其他各点的速度均可利用泰勒级
2．线变形运动
在图 4-2 中，比较 B 与 A、C 与 D 点在 x 方向及 D 与 A、C 与 B 点在 y 方向的速度差可
得：uB
uA
u x
dx
，uC
uD
u x
dx
； vD
vA
v y
dy
， vC
vB
v y
dy
。由此可知，流体线段
AB
和
DC
在
d t 时间内将伸长(或缩短) u dxdt ，同样， AB 和 BC 线段将伸长(或缩短) v dydt 。
1．平移运动
由图 4-2 可知，微团上 A、B、C、D 各点的速度 分量中均有u 和v 两项，在经过 dt 时间后，矩形微团 ABCD 向右、向上分别移动u dt 、v dt 距离，即平移到 新位置，形状不变，如图 4-3( a )所示。式(4-4)中 的第一项即为该流体微团平移运动的运动速度。
图 4-2 分析流体微团平面运动用图
x
y
定义单位时间内单位长度流体线段的伸长(或缩短)量为流体微团的线变形速
率，则沿 x 轴方向的线变形速率为
u dxdt x
(dxdt)
u x
xx
同理可得流体微团沿 y 轴方向和沿 z 轴方向的线变形速率分别为
，
yy
v y
zz
w z
上述即为式(4-1)及其物理意义。式(4-4)中的第二项所表示的便是该线变形运动所
引入记号，并赋予运动特征名称：
线变形速率
、 xx
、 yy
，
zz
xx u x,yy y v,zz w z
（4-1）
、
、
剪xy切变yx 形速yz 率 zy 、 xz、、zx 、 、 ，
，
xy
yx
1 2
v x
u y
yz
zy
1 2
w y
v z
（4-2）
zx
xz
1 u 2 z
是流体不可压缩的条件。在图 4-3( b)中示出了该流体微团的平面线变形。
图4-3 流体微团平面运动的分解(a)
返回Biblioteka 图4-3 流体微团平面运动的分解(b)
返回
图4-3 流体微团平面运动的分解(c)
返回
图4-3 流体微团平面运动的分解(d)
返回
3．角变形运动
在图 4-2 中，比较 D 和 A、C 和 B 在x 方向及 B 和 A、C 和 D 在 y 方向的速度
w
x
旋转角速度
、
x
、y
，
z
x
1 2
w y
v z
y
1 u 2 z
w x
z
1 2
v x
u y
（4-3）
于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为
uc vc
vu yxyd xdyx yxxyd dxy yxzd zdzz zyddxz xzd dzy
wc wzzdzzxdxzydyxdyydx
引起的速度变化。
将 x 、 y 、 z 方向的线变形速率加在一起，有
xx
yy
zz
u x
v y
w z
（4-5）
对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运
动中体积不变。而三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时
间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。因此，不可压缩流体的连续性方程也
第一节 流体微团运动分析
刚体的一般运动可以分解为移动和转动 两部分。流体与刚体的主要不同在于它具 有流 动性，极易变形。因此，任一流体微 团在运动过程中不但与刚体一样可以移动 和转动，而且还会发生变形运动。所以， 在一般情况下流体微团的运动可以分解为 移动、转动和变形运动三部分。
一、表示流体微团运动特征的速度表达式
数展开并略去二阶及以上无穷小量得到。因此 C(x +dx ，y + d y ，z + dz )点的速度分
量可表示为
uc
uudxudyudz x y z
vcv x vdx y vdy v zdz
w w w wc wxdxydyzdz
图 4-1 分析流体微团运动用图
为了把流体微团的速度进行分解，并以数学
（4-4）
式(4-4)表明，在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体微团中 某点的速度作整体平移运动(u 、v 、w )；②绕通过该点轴的旋转运动(x 、y 、z )； ③微团本身的变形运动(线变形 xx 、 yy 、 zz 和剪切变形 xy 、 yz 、 zx )。
二、流体微团运动的分解
形式表达出来，现将上式进行改造。在第一
式右边 、 ，在第二式右边 、 ， 1 v dy
1 w dz
1 u dx
1 w dz
2 x
2 x
2 y
2 y
在第三式右边 1 u dx 、 1 v dy ，重新整理后可得
2 z
2 z
到
u c u u x d x 1 2 u y x v d y 1 2 u z w x d z 1 2 u z w x d z 1 2 x v u y d y v c v y v d 1 2 y x v u y d x 1 2 v z w y d z 1 2 x v u y d x 1 2 w y v z d z w c w w z d z 1 2 w x u z d x 1 2 w y v z d y 1 2 w y v z d z 1 2 u z w x d x