2.4 典型环节的数学模型P22
一、比例环节（Proportional Element）P23
二、惯性环节（Inertial Element） P23
三、积分环节（Integral Element）
P24
四、微分环节（Derivative Element） P26
五、振荡环节（Oscillating Element） P28
一、 比例环节
二、惯性环节（Inertial Element）P23
1.
动态微分方程：

dc(t) dt

c(t)

Kr(t)
2. 传递函数： 3. 阶跃响应
G(s) C(s) K
R(s) s 1
——时间常数 K——比通1 例系数
t
c(t) K (1 e )
过 原 点
惯性越大， 越大 当 t (3 ~ 4) 时，输出接近稳态值
5.零极点分布
j S平面
1 0
Re
只有一个极点

1

6.两个实例：
①
R2
u i R1 - C
+
②
R
ui
C
uo
Z1 R1,
而
Z2

R2 1 R2Cs
Uo(s) Z2
R2 R1
Ui (s) Z1 1 R2Cs
'
~ ui 为积分环节。
四、微分环节（Derivative Element） P26
理想微分环节：
1. 动态微分方程：
c(t)
dr(t)
dt
2. 传递函数
G(s) C(s) s
R(s)
——时间常数
3.单位阶跃响应
c(t) (t)
r(t)
1 0
C(t)
T
t
t
0
纯微分环节的阶跃相应曲线
2.4 典型环节的数学模型P22
思考题：
如何从该框图求得输出 与输入 之间的关系？
2.4 典型环节的数学模型P22
系统是由典型环节组成
常见的几种典型环节 比例、微分、积分、惯性、振荡、滞后
讨论内容
时域特征：微分方程，阶跃响应 复域（s域）特征：传递函数，零极点分布
有一个0值 极点
6.积分环节实
例① ：
C
R－
ui
＋
uo
② 电动机（忽略惯性和摩擦）
Ui (s) Uo(s)
R
1 Cs
Uo(s) 1 Ui (s) RCs
图中， 为转角， ' 为角速度。
ui
齿轮组

' kui


t
0 kui (t)dt
可见， ' ~ ui 为比例环节，
第二章 线性系统的数学模型
杜鹏英 dupy@
第二章 线性系统的数学模型
2.0 引言 2.1 线性系统的输入输出时域描述 2.2 拉普拉斯变换（Lapalase Transform） 2.3 线性系统的传递函数 Transfer Function P18 2.4 典型环节的数学模型 P22 2.5 系统的方框图（结构图）Block Diagram P28 2.6 信号流图及梅逊公式 2.7 非线性数学模型的线性化P20
uo
Uo(s) 1 Ui (s) RCs1
思考？
（1） RL电路
L
ui (t )
R
uo (t )
（2） 直流电机的励磁部分
L i f (t)
u f (t)
R
三、积分环节（Integral Element）P24
1.动态微分方程
t
c(t) K r(t)dt
0
K

1

2.传递函数
G(s) C(s) K 1
实例：
测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即 为微分环节。P28 图2-4-9
[实例]
①
R1
ui C
-
+
①
R1
u CR0
i
-
+
理想微分环节
uo
Uo(s) Ui (s)


R1Cs

Ts
比例微分环节
uoUo(s) R1(1 R0Cs) K(Ts1)
Ui (s)
R0
带有惯性的微分环节
四、微分环节（Derivative Element） P26
实际微分环节：微分环节和惯性环节串联
1.传递函数 2.阶跃响应
G(s) C(s) K s R(s) s 1
t
c(t) Ke
3.实例：P26 图2-4-5
四、微分环节（Derivative Element） P26
C
ui (t )
R
uo (t )
Uo (s) RCs Ui (s) 1 RCs
[实例]
R1
x(t)
C
R2 y(t)
Y (s) Z2(s) , X (s) Z1(s)
Z 2 R2,
Z1

R2

R1 1 R1Cs
G ( s ) Y ( s ) R 2 (1 R1Cs ) k (Ts 1) X ( s ) R1 R 2 R1 R 2Cs kTs 1
六、纯时间延时环节（又称存滞后环节） P29
一、 比例环节（Proportional
Element）
1. 动态微分方程： 2. 传递函数：
c(t)=Kr(t)
G(s) C(s) K R(s)
k为放大系数(增益)
3. 阶跃响应
4. 特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
5. 实例： 电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。
比例微分环节：
1.传递函数
理想比例微分：
实际比例微分：
2.阶跃响应 r(t)
G(s) ( s 1) G(s) ( s 1)
s 1
c(t)
K
K
t
3.实例：P27 图2-4-7
t
四、微分环节（Derivative Element） P26
特点：
输出量正比输入量变化的速度; 能预示输入信号的变化趋势。
切
线
斜
率
为
阶跃响应
求单位阶跃输入的输出响应：
C(s) K
R(s) s 1
R(s) 1 , s
C(s) K K (1 1 )
s( s 1)
s s 1
c (t ) L1[C ( s )] K (1 e t )
二、惯性环节
4.特点：
对突变的输入其输出不能立即复现，有延迟； 非周期指数函数，无振荡；
R(s) s s
K—— 比例系数
— — 时间常数
3.单位阶跃响应
c(t)

1
t

Kt

c(t) c(t) Kr(t)
r(t) 1(t)
0t三ຫໍສະໝຸດ 积分环节（Integral Element）P24
4.特点：
输出量与输入量的积分成正比； 当输入消失，输出具有记忆功能
5.零极点分布
S平面
j
0 Re