2016中考数学专题讲座 几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。
几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。
函数与几何的综合题,对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性,通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式,进一步研究几何的性质,沟通函数与几何的有机联系,可以培养学生的数形结合的思想方法。
【典型例题】【例1】已知24AB AD ==,,90DAB ∠=,AD BC ∥(如图).E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合),M 是线段DE 的中点.(1)设BE x =,ABM △的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;(2)如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切,求线段BE 的长; (3)联结BD ,交线段AM 于点N ,如果以A N D ,,为顶点的三角形与BME △相似,求线段BE 的长.【思路点拨】(1)取AB 中点H ,联结MH ;(2)先求出 DE; (3)分二种情况讨论。
【例2】(山东青岛)已知:如图(1),在Rt ACB △中,90C ∠=,4cm AC =,3cm BC =,点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,速度为1cm/s ;点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s ;连接PQ .若设运动的时间为(s)t (02t <<),解答下列问题:(1)当t 为何值时,PQ BC ∥?(2)设AQP △的面积为y (2cm ),求y 与t 之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由;(4)如图(2),连接PC ,并把PQC △沿QC 翻折,得到四边形PQP C ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形PQP C '为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.图(1)BAD MECBADC备用图AAP【思路点拨】(1)设BP 为t ,则AQ = 2t ,证△APQ ∽△ABC ;(2)过点P 作PH ⊥AC 于H .(3)构建方程模型,求t ;(4)过点P 作PM ⊥AC 于M,PN ⊥BC 于N ,若四边形PQP ′C 是菱形,那么构建方程模型后,能找到对应t 的值。
【例3】(山东德州)如图(1),在△ABC 中,∠A =90°,AB =4,AC =3,M 是AB 上的动点(不与A ,B 重合),过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N .以MN 为直径作⊙O ,并在⊙O 内作内接矩形AMPN .令AM =x .(1)用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ; (2)当x 为何值时,⊙O 与直线BC 相切?(3)在动点M 的运动过程中,记△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ,试求y 关于x 的函数表达式,并求x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少? 图(1) 图(2) 图(3)【思路点拨】(1)证△AMN ∽ △ABC ;(2)设直线BC 与⊙O 相切于点D ,连结AO ,OD ,先求出OD (用x 的代数式表示),再过M 点作MQ ⊥BC 于Q ,证△BMQ ∽△BCA ;(3)先找到图形娈化的分界点,x =2。
然后 分两种情况讨论求y 的最大值: ① 当0<x ≤2时, ② 当2<x <4时。
BDB【学力训练】1、(山东威海) 如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,AB =7,CD =1,AD =BC =5.点M ,N 分别在边AD ,BC 上运动,并保持MN∥AB ,ME⊥AB ,NF⊥AB ,垂足分别为E ,F .(1)求梯形ABCD 的面积; (2)求四边形MEFN 面积的最大值.(3)试判断四边形MEFN 能否为正方形,若能, 求出正方形MEFN 的面积;若不能,请说明理由.2、(浙江温州市)如图,在Rt ABC △中,90A ∠=,6AB =,8AC =,D E ,分别是边AB AC ,的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ BC ⊥于Q ,过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动.设BQ x =,QR y =.(1)求点D 到BC 的距离DH 的长;(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(3)是否存在点P ,使PQR △为等腰三角形?若存在, 请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由.3、(湖南郴州)如图,平行四边形ABCD 中,AB =5,BC =10,BC 边上的高AM =4,E 为 BC边上的一个动点(不与B 、C 重合).过E 作直线AB 的垂线,垂足为F . FE 与DC 的延长线相交于点G ,连结DE ,DF .. (1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG .(2) 当点E 在线段BC 上运动时,△BEF 和 △CEG 的周长之间有什么关系?并说明你的理由. (3)设BE =x ,△DEF 的面积为 y ,请你求 出y 和x 之间的函数关系式,并求出当x 为何 值时,y 有最大值,最大值是多少?4、(浙江台州)如图,在矩形ABCD 中,9AB =,AD =P 是边BC 上的动点(点P 不与点B ,点C 重合),过点P 作直线PQ BD ∥,交CD 边于Q 点,再把PQC △沿着动直线PQ 对折,点C 的对应点是R 点,设CP 的长度为x ,PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y . (1)求CQP ∠的度数;(2)当x 取何值时,点R 落在矩形ABCD 的AB 边上? (3)①求y 与x 之间的函数关系式;②当x 取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的727?MB DCEFGx A C DABEFNM A BCD ER PH Q几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例1】(上海市)(1)取AB 中点H ,联结MH ,M 为DE 的中点,MH BE ∴∥,1()2MH BE AD =+.又AB BE ⊥,MH AB ∴⊥.12ABM S AB MH ∴=△,得12(0)2y x x =+>;(2)由已知得DE =.以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切,1122MH AB DE ∴=+,即11(4)222x ⎡+=+⎣.解得43x =,即线段BE 的长为43;(3)由已知,以A N D ,,为顶点的三角形与BME △相似, 又易证得DAM EBM ∠=∠.由此可知,另一对对应角相等有两种情况:①ADN BEM ∠=∠;②ADB BME ∠=∠. ①当ADN BEM ∠=∠时,AD BE ∥,ADN DBE ∴∠=∠.DBE BEM ∴∠=∠.DB DE ∴=,易得2BE AD =.得8BE =;②当ADB BME ∠=∠时,AD BE ∥,ADB DBE ∴∠=∠.DBE BME ∴∠=∠.又BED MEB ∠=∠,BED MEB ∴△∽△. DE BE BE EM∴=,即2BE EM DE =,得2222(x x =+-.解得12x =,210x =-(舍去).即线段BE 的长为2. 综上所述,所求线段BE 的长为8或2.【例2】(山东青岛)(1)在Rt△ABC 中,=AB DQC BPR ABAD C (备用图1)B AD C(备用图2)B由题意知:AP = 5-t ,AQ = 2t , 若PQ ∥BC ,则△APQ ∽△ABC , ∴=AC AQ AB AP ,∴5542t t -=,∴710=t . (2)过点P 作PH ⊥AC 于H . ∵△APH ∽△ABC , ∴=BC PH AB AP ,∴=3PH 55t -,∴t PH 533-=,∴t t t t PH AQ y 353)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=. (3)若PQ 把△ABC 周长平分,则AP+AQ=BP+BC+CQ . ∴)24(32)5(t t t t -++=+-, 解得:1=t .若PQ 把△ABC 面积平分,则ABC APQ S S ∆∆=21, 即-253t +3t =3.∵ t =1代入上面方程不成立,∴不存在这一时刻t ,使线段PQ 把Rt△ACB 的周长和面积同时平分. (4)过点P 作PM ⊥AC 于M,PN ⊥BC 于N ,若四边形PQP ′ C 是菱形,那么PQ =PC . ∵PM ⊥AC 于M ,∴QM=CM .∵PN ⊥BC 于N ,易知△PBN ∽△ABC . ∴ABBPAC PN =, ∴54t PN =, ∴54t PN =, ∴54tCM QM ==,∴425454=++t t t ,解得:910=t . ∴当910=t 时,四边形PQP ′ C 是菱形.此时37533=-=t PM , 9854==t CM , 在Rt△PMC 中,9505816494922=+=+=CM PM PC , ∴菱形PQP ′ C 边长为9505. 【例3】(山东德州)(1)∵MN ∥BC ,∴∠AMN =∠B ,∠ANM =∠C . ∴ △AMN ∽ △ABC .BN∴ AM AN AB AC=,即43x AN=.∴ AN =43x .∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=.(0<x <4) (2)如图(2),设直线BC 与⊙O 相切于点D ,连结AO ,OD ,则AO =OD =21MN . 在Rt△ABC 中,BC. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC .∴ AM MN AB BC=,即45x MN=.∴ 54MN x =, ∴ 58OD x =.过M 点作MQ ⊥BC 于Q ,则MQ OD =在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △BMQ ∽△BCA . ∴ BM QM BC AC=. ∴ 55258324xBM x ⨯==,25424AB BM MA x x =+=+=. ∴ x =4996. ∴当x =4996时,⊙O 与直线BC 相切. (3)随点M 的运动,当P 点落在直线BC 上时,连结AP ,则O 点为AP 的中点. ∵ MN ∥BC ,∴ ∠AMN =∠B ,∠AOM =∠APC . ∴ △AMO ∽ △ABP .∴ 12AM AO AB AP ==. AM =MB =2.故以下分两种情况讨论:① 当0<x ≤2时,2Δ83x S y PMN ==.∴ 当x =2时,2332.82y =⨯=最大 ② 当2<x <4时,设PM ,PN 分别交BC 于E ,F BD 图( 2)P图 (3)B图 (1)∵ 四边形AMPN 是矩形, ∴ PN ∥AM ,PN =AM =x . 又∵ MN ∥BC ,∴ 四边形MBFN 是平行四边形. ∴ FN =BM =4-x .∴ ()424PF x x x =--=-. 又△PEF ∽ △ACB .∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴ ()2322PEF S x ∆=-. MNP PEF y S S ∆∆=-=()222339266828x x x x --=-+-. 当2<x <4时,29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.∴ 当83x =时,满足2<x <4,2y =最大. 综上所述,当83x =时,y 值最大,最大值是2.【例3】(山东德州)(1)∵MN ∥BC ,∴∠AMN =∠B ,∠ANM =∠C . ∴ △AMN ∽ △ABC .∴ AM AN AB AC=,即43x AN=.∴ AN =43x .∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=.(0<x <4) (2)如图(2),设直线BC 与⊙O 相切于点D ,连结AO ,OD ,则AO =OD =21MN . 在Rt △ABC 中,BC. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC .∴ AM MN AB BC=,即45x MN=.∴ 54MN x =,∴ 58OD x =.过M 点作MQ ⊥BC 于Q ,则58MQ OD x ==.在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中,∠B 是公共角,BD图( 2)∴ △BMQ ∽△BCA . ∴ BM QM BC AC=.∴ 55258324xBM x ⨯==,25424AB BM MA x x =+=+=. ∴ x =4996. ∴ 当x =4996时,⊙O 与直线BC 相切. (3)随点M 的运动,当P 点落在直线BC 上时,连结AP ,则O 点为AP 的中点. ∵ MN ∥BC ,∴ ∠AMN =∠B ,∠AOM =∠APC . ∴ △AMO ∽ △ABP .∴ 12AM AO AB AP ==. AM =MB =2.故以下分两种情况讨论:① 当0<x ≤2时,2Δ83x S y PMN ==.∴ 当x =2时,2332.82y =⨯=最大 ② 当2<x <4时,设PM ,PN 分别交BC 于E ,F . ∵ 四边形AMPN 是矩形, ∴ PN ∥AM ,PN =AM =x . 又∵ MN ∥BC ,∴ 四边形MBFN 是平行四边形. ∴ FN =BM =4-x .∴ ()424PF x x x =--=-. 又△PEF ∽ △ACB .∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴ ()2322PEF S x ∆=-. MNP PEF y S S ∆∆=-=()222339266828x x x x --=-+-. 当2<x <4时,29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.∴ 当83x =时,满足2<x <4,2y =最大.图 ( 4)P图 (3)B图 (1)综上所述,当83x =时,y 值最大,最大值是2. 【学力训练】1、(山东威海)(1)分别过D ,C 两点作DG ⊥AB 于点G ,CH ⊥AB 于点H .∵ AB ∥CD ,∴ DG =CH ,DG ∥CH .∴ 四边形DGHC 为矩形,GH =CD =1. ∵ DG =CH ,AD =BC ,∠AGD =∠BHC =90°,∴ △AGD ≌△BHC (HL ). ∴ AG =BH =2172-=-GH AB =3. ∵ 在Rt △AGD 中,AG =3,AD =5, ∴ DG =4.∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形.(2)∵ MN ∥AB ,ME ⊥AB ,NF ⊥AB , ∴ ME =NF ,ME ∥NF . ∴ 四边形MEFN 为矩形. ∵ AB ∥CD ,AD =BC , ∴ ∠A =∠B .∵ ME =NF ,∠MEA =∠NFB =90°, ∴ △MEA ≌△NFB (AAS ). ∴ AE =BF . 设AE =x ,则EF =7-2x .∵ ∠A =∠A ,∠MEA =∠DGA =90°, ∴ △MEA ∽△DGA . ∴DG ME AG AE =.∴ ME =x 34. ∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形. 当x =47时,ME =37<4,∴四边形MEFN 面积的最大值为649. (3)能.ABE FGH ABE F G H由(2)可知,设AE =x ,则EF =7-2x ,ME =x 34.若四边形MEFN 为正方形,则ME =EF . 即=34x 7-2x .解,得 1021=x . ∴ EF =21147272105x -=-⨯=<4. ∴ 四边形MEFN 能为正方形,其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFN S 正方形.2、(浙江温州市)(1)Rt A ∠=∠,6AB =,8AC =,10BC ∴=.点D 为AB 中点,132BD AB ∴==. 90DHB A ∠=∠=,B B ∠=∠.BHD BAC ∴△∽△, DH BD AC BC ∴=,3128105BD DH AC BC ∴==⨯=.(2)QR AB ∥,90QRC A ∴∠=∠=.C C ∠=∠,RQC ABC ∴△∽△, RQ QC AB BC ∴=,10610y x-∴=, 即y 关于x 的函数关系式为:365y x =-+. (3)存在,分三种情况:①当PQ PR =时,过点P 作PM QR ⊥于M ,则QM RM =.1290∠+∠=,290C ∠+∠=,1C ∴∠=∠.84cos 1cos 105C ∴∠===,45QM QP ∴=, 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=,185x ∴=. ②当PQ RQ =时,312655x -+=, ABCD ERP H QM 21 HA6x ∴=.③当PR QR =时,则R 为PQ 中垂线上的点, 于是点R 为EC 的中点,11224CR CE AC ∴===.tan QR BAC CR CA ==, 366528x -+∴=,152x ∴=.综上所述,当x 为185或6或152时,PQR △为等腰三角形.3、(湖南郴州)(1) 因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AB DG 所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠所以BEF CEG △∽△(2)BEF CEG △与△的周长之和为定值.理由一: 过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ,因为GF ⊥AB ,所以四边形FHCG 为矩形.所以 FH =CG ,FG =CH 因此,BEF CEG △与△的周长之和等于BC +CH +BH 由 BC =10,AB =5,AM =4,可得CH =8,BH =6,所以BC +CH +BH =24理由二:由AB =5,AM =4,可知 在Rt△BEF 与Rt△GCE 中,有:4343,,,5555EF BE BF BE GE EC GC CE ====, 所以,△BEF 的周长是125BE , △ECG 的周长是125CE 又BE +CE =10,因此BEF CEG 与的周长之和是24. (3)设BE =x ,则43,(10)55EF x GC x ==- 所以21143622[(10)5]2255255y EF DG x x x x==-+=--配方得:AM xHGFEDCB2655121()2566y x =--+. 所以,当556x =时,y 有最大值.最大值为1216.4、(浙江台州)(1)如图,四边形ABCD 是矩形,AB CD AD BC ∴==,.又9AB =,AD =90C ∠=,9CD ∴=,BC =tan 3BC CDB CD ∴∠==30CDB ∴∠=. PQ BD ∥,30CQP CDB ∴∠=∠=.(2)如图(1),由轴对称的性质可知,RPQ CPQ △≌△,RPQ CPQ ∴∠=∠,RP CP =.由(1)知30CQP ∠=,60RPQ CPQ ∴∠=∠=,60RPB ∴∠=,2RP BP ∴=.CP x =,PR x ∴=,PB x =.在RPB △中,根据题意得:)x x =,解这个方程得:x =(3)①当点R 在矩形ABCD 的内部或AB 边上时,0x <≤21133222CPQ S CP CQ xx x =⨯⨯==△, RPQ CPQ △≌△,∴当0x <≤22y x =当R 在矩形ABCD 的外部时(如图(2)),x <在Rt PFB △中,60RPB ∠=,2)PF BPx ∴==,又RP CP x ==,3RF RP PF x ∴=-=-DQC BPR A(图1)DQC BPR A图(2)F E在Rt ERF △中,30EFR PFB ∠=∠=,6ER ∴=-.21182ERF S ER FR x x ∴=⨯=-+△, RPQ ERF y S S =-△△,∴当x <<218y x =+-.综上所述,y 与x 之间的函数解析式是:22(018x x y x x <=⎨⎪+-<<⎩≤.②矩形面积9=⨯=,当0x <≤函数22y x =随自变量的增大而增大,所以y的最大值是727的值727=⨯=,而>,所以,当0x <<y 的值不可能是矩形面积的727;当x <<218x +-=x =>,所以x =所以x =综上所述,当x =PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的727.。