课时达标训练(一) 正 弦 定 理[即时达标对点练]题组1 利用正弦定理解三角形1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6D ．2＋2 3解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝b sin 60°，所以b ＝26，故选C.2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B ＝( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°解析：选C 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝45°.3．在△ABC 中，cos A a ＝sin Bb ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选B ∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b ，∴cos A a ＝sin Aa ，∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1. 又0°<A <180°， ∴A ＝45°.4．在△ABC 中，c ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝30°，则c ＝________， b ＝________.解析：因为A ＝60°，B ＝30°，所以C ＝90°，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝12c .又c ＋b ＝12，所以c ＝8，b ＝4. ★答案★：8 45．已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________.解析：∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sin 30°＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C . ∴a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝2.★答案★：26．已知b ＝10，c ＝56，C ＝60°，解三角形． 解：∵sin B ＝b sin Cc ＝10·sin 60°56＝22， 且b ＝10，c ＝56，b <c ，C ＝60°. ∴B ＝45°，A ＝180°－(B ＋C )＝75°. ∴a ＝b sin A sin B ＝10·sin 75°sin 45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)． 题组2 利用正弦定理判断三角形的形状7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是________．解析：∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，∴由正弦定理，得sin A ·cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )，化简得cos A ·(sin B ＋sin C )＝0.又sin B ＋sin C >0，∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．★答案★：直角三角形8．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 解：法一：∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b ·cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理，得a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．法二：∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理，得2R sin 2A ＝2R sin 2B ， 即sin A ＝sin B ，∴A ＝B (A ＋B ＝π不合题意，舍去)． 故△ABC 为等腰三角形．9．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 解：由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 及正弦定理，得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形，且A ＝90°. ∴B ＋C ＝90°， ∴sin B ＝cos C .由sin A ＝2sin B cos C ，得1＝2sin 2B ， ∴sin B ＝22， ∴B ＝45°， ∴C ＝B ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．[能力提升综合练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C 因为m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，则A ＝π3.由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B ·cos A ＝sin 2C ，所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C .因为0<C <π，所以sin C ≠0，所以sin C ＝1，所以C ＝π2，B ＝π6.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．a ＝30，b ＝50，A ＝36°B ．a ＝50，b ＝30，A ＝36°C ．a ＝30，b ＝60，A ＝30°D ．a ＝30，B ＝20°，A ＝136°解析：选A 对于A ，b sin A <50×35＝30＝a <b ，可知这样的三角形有两个．对于B ，a >b ，这样的三角形只有一个．对于C ，b sin A ＝60×12＝30＝a ，这样的三角形只有一个．对于D ，∵A ＝136°，∴△ABC 为钝角三角形，∵B ＝20°，A ＝136°，∴C ＝24°，∴这样的三角形是唯一的．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：选A ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝ 3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)， ∴C ＝120°.故选A.4．在△ABC 中，若sin (A －B )sin (A ＋B )＝a 2－b 2a 2＋b 2，则△ABC 的形状是________________．解析：原式可化为sin (A －B )sin (A ＋B )＝sin 2A －sin 2Bsin 2A ＋sin 2B ⇒sin 2A [sin(A －B )－sin(A ＋B )]＋sin 2B ·[sin(A －B )＋sin(A ＋B )]＝0⇒－sin 2A ·cos A sin B ＋sin 2B sin A cos B ＝0⇒－sin 2A ＋sin 2B ＝0，又∵0<A <π，0<B <π，∴0<2A <2π，0<2B <2π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，故该三角形是等腰三角形或直角三角形．★答案★：等腰三角形或直角三角形5．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，则ab 的取值范围是________．解析：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 都为锐角，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，所以30°<B <45°.由正弦定理，知a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故ab 的取值范围是(2，3)．★答案★：(2，3)6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．解：由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12，sin A ＝32.再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而cos B ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22×⎝⎛⎭⎫32＋12＝6＋24. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin C ＝3c cos A . (1)求A 的大小；(2)若b ＝2，且π4≤B ≤π3，求c 的取值范围．解：(1)由题意得a 3cos A ＝csin C . 由正弦定理，得sin A 3cos A ＝sin Csin C＝1. ∴tan A ＝ 3.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵b ＝2，A ＝π3，∴在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin C sin B ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B sin B＝3cos B sin B ＋1＝3tan B＋1. ∵π4≤B ≤π3，∴1≤tan B ≤3，∴2≤c ≤3＋1，即c 的取值范围为[2，3＋1]．。