三、离差平方和的分解
记
1 r s t x xijk rst i 1 j 1 k 1
称为样本总平均；
1 t xij xijk t k 1
xi 1 s t xijk st j 1 k 1
称为水平组合 Ai , B j 下的样本均值； 称为水平 Ai 下的样本均值； 称为水平 B j 下的样本均值。
r r r i 1
s
0
i 1
s
i 1
s
ij uij ui u j u uij ui su i su i 0
j 1 j 1 j 1
所以，如果 H 02 成立，那么因素 B 各效应的水平皆为零； 如果 H 03 成立，那么 ij 0
2 i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1 r s t
i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1
可以验证上式右边所有的交叉乘积项皆为零 记
SE
SA
2
xijk xij
r s t
2
2
xi x
i 1 j 1 k 1 r s t i 1 j 1 k 1 r s t
rs t 1 2 S A B r 1s 1 ~ F r 1s 1, rs t 1 2 S E rs t 1
2
SB
s 1
，可得 若控制犯第一类错误的概率不超过
x 2 s1 , x 2 s 2 , , x 2 st
……
x r11 , x r12 , , x r1t
……
x r 21 , x r 22 , , x r 2 t
……
x rs 1 , x rs 2 , , x rst
Ar
在水平组合 Ai , B j 下的 t 次试验，由于所有可控制 因素均没有发生变化，试验结果 xij1 , xij 2 ,, xijt 的差异 纯粹是由随机因素引起的，故可将数据 xij1 , xij 2 ,, xijt 看成是来自正态总体
i 1,2,, r; j 1,2,, s .
H 02 、 H 03 中的三组参数 i 以上 3 个假设H 01 、 、 、 j
ij 都是未知的，为了对三个假设成立与否进行检验，
仍只能依据试验观测值 xijk （ i 1,2, , r ; j 1,2, , s; k 1, , t ） 并且仍是从分析这组数据的离散性着手。
2 r s t 2
x j
1 r t xijk rt i 1 k 1
考虑总变差平方和 S T xijk x 的如下分解：
i 1 j 1 k 1
ST xijk x
2 r s t
2
= xijk xij xi x x j x xij xi x j x
x ij x i x j x 可作为rij u ij u i u j u 的
估计值。
若 H 01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然
SA i 的估计值之平方和的若干倍的 不能苛求做为诸
r s t 2 r 2 i 1 j 1 k 1 i 1
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想 了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区， 销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不 同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地 区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低 的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、 接受该生产线。
双因 素方 差分 析的 类型
j 1
s
因此，要鉴别因素A 是否对结果有显著影响，只 需鉴别因素A 水平的改变是否导致试验结果的明显变 化，这等价于检验因素A 各水平的效应是否相等，即 检验假设
H 01 : 1 2 r
（6.果有显著影响， 类似地，要鉴别因素 等价于检验假设
r
i 1 j 1 k 1 s t
2
xijk xij xi x x j x
2 r s t 2 r s t
i 1 j 1 k 1 r s t
2
xij xi x j x +（交叉乘积项）
t 2 k 1
素引起的，因此，在各种水平组合下总的误差平方和
S E 就基本上刻划了整个试验中随机因素作用的强
度，以它为尺度来比较各种效应的大小应该说是合理 的。
2
从矩估计的角度看，
x 、xi 、x j 、xij 分别是
uij 的估计值，因此， u 、ui 、u j 、
xi x 可作为 i u i u 的估计值； x j x 可作为 j u j u 的估计值；
u ij u （视为总效应）是由如下四部分组成：
Ai 下的效应 i ； （1）水平 j ； （2）水平B j 下的效应 A , B ij （3）水平组合 i j 的交互效应 ； ij （4）随机因素引起的随机波动 .
1 r s i ui u s uij ru 0 i 1 i 1 i 1 j 1
第二节
双因素方差分析
双因素方差分析的类型 数据结构 离差平方和的分解 应用实例
一、 双因素方差分析的类型
如果在试验中有两个可控制因素 A, B ，同时发生变 化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为 双因素试验。 双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素 对结果可能产生的影响。
r r
1 s r j u j u r uij su 0 j 1 j 1 j 1 i 1
s s
u
i 1 ij i 1
r
r
ij
ui u j u =0

j 1
s
ij
uij ui u j u =0
1.双因素方差分析的数据结构如表所示：
B1 A1 A2

x111 , x112 , , x11t
x 211 , x 212 , , x 21t
B2
x121 , x122 , , x12t
x 221 , x 222 , , x 22t
…… …… …… …… ……
Bs
x1s1 , x1s 2 , , x1st
H 02 : 1 2 s
（6.29）
是否成立。 要鉴别因素A 与因素B 是否存在交互效应，等价于 检验假设 H 03 : ij i 1,2, , r ; j 1,2, , s 全相等 是否成立。 （6.30）
1 r s 由于 i u i u u ij ru 0 ， s i 1 j 1 i 1 i 1
2
（ xi x st xi x ）恰好等于零，
SA S 但相对于 E 来说一定不应太大，倘若 2 超过某个界 SE
2
2
H 01 ，故 限值 k1 ，我们就有理由拒绝
S A2 取 H 01 的拒绝域为 W01 2 k1 SE
偏差平方和。
则得到总变差平方和的分解式：
ST SE S A SB S A B
r s t
2
2
2
2
2
（6.31）
下面分析 S E xijk xij
2
i 1 j 1 k 1
2
在 i 、 j 给定时，t 个数据 xijk （ k 1,2,, t ）与其 平均值 xij 的偏差平方和 xijk xij 纯粹是由随机因
X ij ~ N uij , 2
（6.19）
的 t 个样本观测值.
对不同的水平组合 Ai , B j ，假定各总体的方差相
等，但均值 u ij 可能存在差异。
2.双因素试验的方差分析的数学模型
X ij uij ij , i 1,2 r (因素A的水平），j 1,2 s因素B的水平，
i 1 j 1 k 1 r s t
称为误差平方和。
A 的主效应偏差平方和。 称为因素 B 的主效应偏差平方和。 称为因素
2
2
SB
2
x j x
2
i 1 j 1 k 1
2
S AB
xij xi x j x 称为 A B 的交互效应
显然
记：i = ui u
记： j = u j u
它是水平 它是水平 Ai 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平 Ai 下的效应；
Bj
记：rij uij ui u j u uij u i j
所以 r ij
是总效应 uij u 减去 Ai 的效应 i 后的剩余部分，称为水平组合 Ai , B j 的交互效应。
r r
因此，如果 H 01成立，那么因素 A 各水平的效应必皆为 0.
1 s r 类似地，由 j u j u u ij su 0 r j 1 i 1 j 1 j 1
s s
ij uij ui u j u uij u j ru j ru j
下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平 B j 下的效应；
和 B j 的效应 j
于是 X ij ~ N u ij , 2 可以等价的表示为：
X ij uij ij u i j ij ij ， i 1,2, , r ; j 1,2, , s 2 ij ~ N 0, 这表明，在因素A, B 的不同水平组合下，试验结果的相对差异
无交互作用的 双因素方差分析