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1O
E D
A
B
C
第十一讲 角平分线定理
【学习目标】
1、掌握角平分线的定理和逆定理。
2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明。
3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
【知识要点】
1、 角平分线性质定理的证明及应用。
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理解释：“点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”，定理即表明这两条垂线段相等。
2、 角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。
逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
4、用尺规作角的平分线： 【典型例题】
例1、 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC 。
例2、已知，如图，CE ⊥AB ,BD ⊥AC ,∠B =∠C ，BF =CF 。
求证：AF 为∠BAC 的平分线。
例3、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A ）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.
例4、如右图，E 、D 分别是AB 、AC 上的一点，∠EBC 、∠BCD 的角平分线交于点M ，∠BE D 、∠EDC 的角平分线交于N . 求证：A 、M 、N 在一条直线上.
证明：过点N 作NF ⊥AB ，NH ⊥ED ，NK ⊥AC ，过点M 作MJ ⊥BC ，MP ⊥AB ，MQ ⊥AC
∵EN 平分∠BED ，DN 平分∠EDC ∴NF __________NH ，NH __________NK ∴NF __________NK ∴N 在∠A 的平分线上
又∵BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB
∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M 在∠A 的__________上 ∴M 、N 都在∠A 的__________上 ∴A 、M 、N 在一条直线上
例5、如图1，OC 平分∠A O B ，P 是OC 上一点，D 是OA 上一点，E 是OB 上一点，且PD =PE ，求证：∠+∠=︒
P D O P E O 180。
【经典练习】
一、填空题
1、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.
2、如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
图1 图2 图3
3、图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则
BC=____ cm.
4、图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
二、选择题
1、给出下列结论，正确的有（）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；
③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、下列结论正确的有（）
①如果(x－1)(x－2)=0，那么x=1；②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；
③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3、已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）
A.18
B.16
C.14
D.12
4、两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）
A.两个三角形全等
B.两个三角形一定不全等
C .如果还有一角相等，两三角形就全等
D .如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等 5、下列命题中是真命题的是
A .有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B .相等的角是对顶角
C .余角相等的角互余
D .两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
6、如图4，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠MON =α，∠BOC =β，则表示∠AOD 的代数式为（ ） A .2α－β
B .α－β
C .α+β
D .2α
图4 图5
7、如右上图5，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ，②△BDF ≌△CDE ， ③D 在∠BAC 的平分线上，以上结论中正确的是 （ ） A .只有①
B .只有②
C .只有①和②
D .①，②与③
三、解答题
1、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .
2、已知，如图，过菱形ABCD 的顶点C 作,CF AD CE AB ⊥⊥,分别交AB 、AD 的延长线于E 、F .试说明CE =CF
【课后作业】
一、填空题
1、如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
2、如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.
3、如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=____ ______.
（1）（2）（3）
4、已知，如图4，∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB= __________度.
5、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.
图4 图5
二、解答题
已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.。