(1- a )2 + b 2 a 2 + (1- b )2 (1- a )2 + (1- b )2 (1- a )2 + b 2 a 2 + (1- b )2 (1- a )2 + (1- b )2 y
r
x
数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：
例 1 已知 x 、 y 、 z 、 r 均为正数，且 x 2 + y 2
= z 2
, z ⋅
= x 2 求证： rz = xy .
C
A
B
z
分析：由 x 2 + y 2
= z 2 , 自然联想到勾股定理。

由 z ⋅ = x 2 . 可以联想到
射影定理。

从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。

对照图形，由直角三角形面积的两种
算法，结论的正确性一目了然。

证明：（略）
小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。

2、证明不等式：
例 2 已知：0＜
a ＜1，0＜
b ＜1. 求证
+ + + ≥ 2 2.
证明：如图，作边长为 1 的正方形 ABCD ，在 AB 上取点 E ，使 AE=
a ；在 AD 上取点 G ，使 AG=
b ，
过 E 、G 分别作 EF//AD 交 CD 于 F ；作 GH//AB 交 BC 于 H 。

设 EF 与 GH 交于点 O ，连接 AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD.
由题设及作图知△ AOG 、△ BOE 、△ COF 、△ DOG 均为直角三角形，因此
OA = OB = OC = OD = 且
AC = BD = 由于 OA + OC ≥ AC , OB + OD ≥ BD .
所以：
+ + + ≥ 2 2.
x 2 - r 2 x 2 - r 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 (1- a )2 + b 2 (1- a )2 + (1- b )2 a 2 + (1- b )2
2
a 2 +
b 2
⎩
当且仅当 a = b = 1
2
时，等号成立。

小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。

3、求参数的值或参数的取值范围：
例
3
若方程ax 2
- 2x +1 = 0 围。

（
a ＞0）的两根满足： x 1 ＜1，1＜ x 2 ＜3，求 a 的取值范
解析：画出与方程对应的二次函数
y = ax 2
- 2x +1 （ a ＞0）的草图：
由图可知：当
x =1 时， y ＜0； 当 x =3 时， y ＞0.
即
a ⨯12 - 2 ⨯1+1＜0 ； a ⨯ 32 - 2 ⨯ 3 +1＞0.
5
解得：
9 ＜
a ＜1.
例 4 若关于 x 的不等式
0 ≤ x 2
+ mx + 2 ≤ 1
的解集仅有一个元素，求 m 的值。

解：如图：在同一坐标系内，作出 y = 1与
y = x 2
+ mx + 2 的图象。

题设条件等价于抛物线
y = x 2
+ mx + 2 在直线 y = 0 与y = 1之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。

由图形的直
观 性 质 可 知 ： 这 个 交 点 只 能 在 直 线
y = 1上 ， 故 方 程 组
⎧ y = 1 ⎨ y = x 2
+ mx + 2
仅有一组解。

∴∆ = m 2 - 4 ⨯1 = 0 即 m =
±2.
小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭
示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。

a E
b A
F
E
=
4、求最值问题：
例 5 已知 a 、 b
均为正数，且
a +
b = 2. 求解：如图，作线段 AB=2，在 AB 上截取 AE= a ，
+的最小值。

C
EB=
b ，过
A 作 AC ⊥ A
B ，且
AC=2，过 B 作 BD ⊥ AB ，且 BD=1。

由勾股定
D 2 理：，，原题即求 CE+ED 的最小值。

1 又如图，延长 CA 至 G,使 AG=AC ，连接 GE ，由三角形两边之和大于第三边， A
B 则 G 、E 、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。

作出图形，延长 DB 至 F ，使 BF//AG 且 BF=AG ，连接 GF.
2
2
则在 Rt△DGF 中，DF=1+2=3，GF=AB=2
∴ DG ∴CE+DE 的最小值是=G
2
F
即+的最小值是小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。

二、用代数与三角方法解决几何问题：
例 6 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，CF 、BE 分别是 AB 、AC 边上的高。

试证： AB + CF ≥ AC + BE
证法一：（三角法）因为 0 ≤ sin A ≤ 1 ，
∴ AB - AC ≥ ( A B - AC ) ⋅sin A
B
C
∴ AB + AC ⋅sin A ≥ AC + AB ⋅sin A
∴ AB + CF ≥ AC + BE (当∠A = 90 时取等号)
证法二：（代数法）由 AB ＞AC ＞CF ，AB ＞BE
= 1 AB ⋅ CF = 1
AC ⋅ BE 及 S △ABC
2 2
∴ AB = AC AB- B E 变形得： AC - CF . BE CF AB AC
∴ AB - BE ＞ AC - CF ∴ AB + CF ＞ AC + BE
当∠A = 90 时, AB +
CF
=
AC + BE .
综上：AB +CF ≥AC +BE.
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。

例 7 如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA 上分别有点D、E、F.若DE
⊥BC，EF ⊥AC，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置.
分析：先假设符合条件的点 D、E、F 已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。

解：设 AB=1，AD=
x
因为△ABC为正三角形，
C 且DE ⊥BC，EF ⊥AC，F
D ⊥AB，
F
故, BD = 2BE = 8x - 2
E 而,即
x + (8x - 2) =1 A B
D
解得：x =
1
. AD +BD =1
3
AF = 2x
1
, CF = 1- 2x , CD = 2CF = 2 -4x
BE =1-CE = 4x -1即点D 位于AB 边上
3 分点处. A
小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大
小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出。

而z
方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。

例8 如图，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC内
P 向△ABC 的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F 为垂足） . 若F
BD +CE +AF = 27. 求：BD +BF 的长. P 求那些量的E 的点
y
解：设BD =x，C E =y，AF =z ，则
B C DC =17 -x ，AE =18 -y，FB =19 -z x D
连接 PA、PB、PC.
在Rt△PBD 和Rt△PFB 中，
x2+PD2= (19 -z)2+PF 2
同理：y
2+PE2= (17 -x)2+PD2
z2+PF 2= (18 -y)2+PE2
将以上三式相加，得：
x2+y2+z2= (17 -x)2+ (18 -y)2+ (19 -z)2
∴17x +18 y+19z = 487 (1)
又已知：x +y +z = 27 (2)
由（1）（2）得：x -z =-1
BD +BF = 18. 即x + (19 -z) = 18即。