中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。

”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。

二、典型例题
（一）在数与式中的应用
例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2
||a a b +-=_________。

（二）在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0
20x a x ->⎧⎨
->⎩
的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。

例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，
B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩
，
C ．2103250x y x y --=⎧⎨
+-=⎩
，
D ．20210x y x y +-=⎧⎨
--=⎩
，
（三）在锐角三角函数中的应用 例4、画△ABC ，使cosA=2
1
，AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这
样的三角形可以画_______个。

（四）在函数中的应用
例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中： ①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =； ③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大．
a b
0 · P （1，1）
1 1
2 2
3
3 －1 －1
O
x y
x
y O
3 -1
正确的说法有．（请写出序号）
（五）在概率统计中的应用
例6、某报社为了解读者对本社一种报纸四
个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，
要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数
据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：
⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；
⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

例７以ｘ为自变量的二次函数ｙ=-ｘ2+2ｘ+ｍ，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，
（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；
（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
三、综合训练
1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点A 所表示的数是2”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（）
A．代入法B．数形结合C．换元法D．分类讨论
2、某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话电话收费，3分钟以内收费2.4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y（元）与通话时间（分）之间的关系的图象正确的是（）
3、若M
1
1
,
2
y
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，N
2
1
,
4
y
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，P
3
1
,
2
y
⎛⎫
⎪
⎝⎭
三点都在函数(0)
k
y k
x
=<的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A、y2＞y3＞y1
B、y2＞y1＞y3
C、y3＞y1＞y2
D、y3＞y2＞y1
4、关于x的一元二次方程x2―x―n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2―x―n的顶点在（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
5、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =150°，OA＝OB=2，
则点A、B的坐标分别是___________和___________。

6、如图，已知函数y x b
=+和3
y ax
=+的图象交点为
P，则不等式3
x b ax
+>+的解集为．
7、如图，为实数a、b在数轴上的位置，
化简222
()
a b a b
---。

O x
y
1
P
y=x+b
y=ax+3
A
1
-1 2
思考题：
5、函数2y x x m =-+（m 为常数）的图象如图，如果x a =时，
0y <；那么1x a =-时，函数值（ ）
A ．0y <
B ．0y m <<
C ．y m >
D ．y m =
2、如图1是一种带有黑白双色、边长是20cm 的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为0.02元/(cm 2)和0.01元
/(cm 2)，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是_________元（π取3.14，结果精确到0.01元） 中考链接
１.(湖北中考)将不等式⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-<+x x x x 23821148的解集在数轴上表示出来，正确的是(
2.(临沂中考)直线
ｌ
1:ｙ=ｋ1ｘ+ｂ与
直线ｌ２:ｙ=ｋ２ｘ在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b ＞k 2x 的解为（ ）
Ａ．ｘ>-1 B.<-1 C.ｘ<-2 D.ｘ无法确定
３.(威海中考)下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的是( )
Ａ．(-３，-１) Ｂ．(１，１) Ｃ．(３，２) Ｄ．(４，３)
４.(赤峰中考)如下图所示，半径为１的圆和边长为３的正方形如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）
x
y
O x 1 x 2
图2
图1
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
5.(金华中考)如图在24个边长为１的小正三角形组成的网格中，以格点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．
6.在直角坐标系中，△ＡＢＣ的三个顶点的位置如图所示，现将△ＡＢＣ
平移使点Ａ移至图中的点Ａ／的位置．
(１)在直角坐标系中，画出平移后所得的△Ａ／Ｂ／Ｃ／(其中Ｂ／，Ｃ／分别是Ｂ，Ｃ的对应点)． (２)计算：对应点的横坐标的差： ｘA ／-ｘA= ,ｘB /-ｘB= , ｘＣ／-ｘC ＝ ；
对应点的枞坐标的差：ｙA /-ｙA= ,ｙB /-ｙB= ,Ｙc /- ｙC ＝ ． (３)从(２)的计算中，你发现了什么规律？请你把你发现的规律用文字表述出来． (４)根据上述规律，若将△ＡＢＣ平移使得点Ａ移至Ａ""(2,-2),那么相应的点Ｂ""，Ｃ"
"(其中Ｂ""，Ｃ""分别是Ｂ，Ｃ的对应点）的坐标分别是
， ．
7.(乐山中考)解不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-+>+3122145)1(3x x x x 并将解集在数轴上表示出来．
8.某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1）求y l与y2的函数解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；
（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案．
9.(德州中考)某公司专销产品A，第一批产品A上市
40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市
场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中
图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关
系；图2中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上
市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系
式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最
大？最大利润是多少万元？
10.(贵阳中考)甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程s（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两人的速度各是多少？
（2）求出甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式．
（3）在什么时间段内乙比甲离A地更近？。