一、数可以用形来刻画
例1、数轴上的点并不都表示有理数，如图中 数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问 题的方式体现的数学思想方法叫做 ( C ) A．代人法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论
第1题
例2、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小 正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一 个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面 积相等，可以验证（ C ） 2 2 2 2 2 2 ( a b ) a 2 ab b ( a b ) a 2 ab b • A. B.
y
O
x
y＝－x＋4
练练手
1．伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的 试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速沿 原路返回学校．在这一情景中，速度v和时间t的 函数图象(不考虑图象端点情况)大致是( A )
A
B
C
D
2．已知函数y＝x和y＝ x 2 的图象如图所示， 则不等式 x 2 >x的解集为( A ) A．－2≤x<2 B．－2≤x≤2 C．x<2 D．x>2
数形结合的数学思想
永切 远莫 联忘 系几 莫何 分代 离数 统 一 体 , ,
隔 裂 分 家 万 事 非
形 数 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 缺 形 时 少பைடு நூலகம்直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
.
,
.
,
.
华罗庚
.
,
数形结合思想
数形结合思想是使抽象的数学语言与直观 的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合 起来。数形结合思想是一种重要的解题思想， 用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方 法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮 助解决，最明显地表现是利用直角坐标系将几 何问题与代数问题结合联系起来，“以形助数， 用数解形”。这种思想是近年来中考的热点之 一，也是中考的高档题。
x2
3．如图所示，直线 l1 l2 ，⊙O与直线 l1和直线 l2分别相切于 点A和点B.点M和点N分别是直线 l1 和直线 l2上的动点，MN 沿 l1 和l2 平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误 的是( C )
4 3 A．MN＝ 3 3 B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 2 C．若∠MON＝90°， 则MN与⊙O相切 D．直线 l1 和直线 l2的距离为2
M
C
l1 l2
N
课堂小结：
1 你还可以用图形来直观描述初中数学中的某些
概念、法则或公式吗？ 2 你还能举一些从数的角度来说明一些图形特征 的例子吗？ 3 数可以使形更具有说服力，形可以使数更直观 ，把形（数）转化为数（形），数形互补，互换获
得解决相关问题的思路。
思考题
用图形直观表示配方法求一元二次方程 2 x 2 x 24 的正根的过程。(提示：用图形 表示出得到 ( x 1) 2 25 的过程)
x 1 1
x
x
x
• C.a2 b2 (a b)(a b) D. (a 2b)(a b) a2 ab 2b2
a a
b
图1
b
图2
例3 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0)与一 次函数 y2 ＝ kx ＋m(k≠0) 的图象相交于点 A( － 2,4)，B(8,2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范 围是＿＿＿＿＿ x＜－2或x＞8 y
笛卡儿（Descartes，Rene），1596年3月 31日生于拉埃那，今称拉埃耶一笛卡儿（图 尔附近）1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔 摩。法国哲学家，数学家，物理学家，解析 几何学奠基人之一。他认为数学是其他一切 科学的理论和模型，提出了数学为基础，以 演绎为核心的方法论，对后世的哲学。数学 和自然科学发展起到了巨大的作用。 • 我们现在所用的直角坐标系，通常叫做笛卡 儿直角坐标系。是从笛卡儿引进了直角坐标 系以后，人们才得以用代数的方法研究几何 问题，才建立并完善了解析几何学，才建立 了微积分。
•
例 2.二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c的图象如图所示 . 下列关于a,b,c的条件中， 不正确的是 ( D ) y (A)a＜0,b＞0,c＜0 (B)b2－4ac＜0 (C)a＋b＋c＜0 (D)a－b＋c＞0 O x
例3 无论m为何实数，直线y＝x＋2m与 y＝－x＋4的交点不可能在 （ C ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y2
A
y1
B －2
O
8
x
二、形可以用数来解释
• 例1、假如用一根钢缆沿地球赤道绕1圈， 再把这根钢缆放长10米，这时钢缆和赤道 之间的缝隙可以通过一头牛还是一只老鼠？
解：地球赤道处周长为 3.14×6400000×2=40192000千米 40192000+10=40192010米 40192010÷3.14÷2=6400001.59米 6400001.59-6400000=1.59米 所以钢缆和赤道之间的缝隙可以通过一头牛