−
1 ⎟, e3 6⎟
⎜⎝
2 6
⎟⎠
=
1 | b3
| b3
=
⎜ ⎜ ⎜
2
−
3 2
3 1
3
⎟ ⎟ ⎟
，
⎜⎝ −
1 23
⎟⎠
那么 e1 , e2 , e3 为与 a1 , a 2 , a3 等价的标准正交向量组．
五、正交矩阵
定义 7.5 设 A 是 n 阶实矩阵，如果满足 AΤ A = AAΤ = I ，那么 A 称为正交矩阵．
定义 7.3
θ
=
arccos (a,b)
| a || b |
称为非零向量 a
与 b 间的夹角；如果θ
=
π
2
，那么 a 与 b
正交，规定零向量与任意向量正交．
例 1 设向量 a = (1,−1,2,1)Τ ,b = (− 3,0,−1,3)Τ ,c = (2,3,1,−1)Τ ，计算 (a,b), (a,c)及 a 与
从而有
( ) k j a j ,a j = 0 ．
186
但是
( ) a j ,a j =| a j |2 ≠ 0 ，
故
k j = 0 (j = 1,2,", m) ．
所以 a1 , a2 ,", am 线性无关．
证毕
在维数为 r 的向量空间V 中，如果 a1 , a2 ,", ar 是正交向量组，那么由定理 7.1 知，
⎜⎛ ⎜
0 0
⎟⎞ ⎟
为一个标准正交基．
⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
四、施密特正交化过程
我们知道维数为 r 的向量空间V 中任意 r 个线性无关的向量 a1 ,a2 ,",ar 都可以作为 V 的一个基，这个基不一定是标准正交基．但是，可以找到的V 一个标准正交基 e1 ,e2 ,",er ， 使 向 量 组 e1 ,e2 ,",er 与 a1 ,a2 ,",ar 等 价 ． 这 个 过 程 称 为 把 基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化．
=
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜0⎟ ⎜⎜⎜⎝ 10 ⎟⎟⎟⎠
−
⎜⎛ 1 ⎟⎞
1 ⎜0⎟
2
⎜ ⎜⎜⎝
10⎟⎟⎟⎠
=
⎜⎛
1 2
⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 −1 1
2
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
；
设
b3 = a3 + k1b1 + k2b2 ，
由
(b3 , b1 ) = 0,(b3 , b 2 ) = 0 得
k1
=
−
(b1 (b1
, ,
关．
证
设有一组数 k1 ,k2 ,",km ，使得
m
∑kiai = 0 ．
i =1
那么
∑ ( ) ⎜⎛
⎝
m i =1
kiai
,a
j
⎟⎞ ⎠
=
0, a j
=0
利用向量的内积的运算规律，可得
(j = 1,2,", m) ，
∑ ( ) m ki ai ,a j = 0 ．
i =1
( ) 由于 a1 , a2 ,", am 是正交向量组， 故 当 i ≠ j 时 ai , a j = 0 ，
⎟ ⎟⎟⎠
−
1 2
3 2
⎜0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
−
1 2
1
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜1⎟
⎜ ⎜⎜⎝
− −
1 3
1 3
⎟ ⎟⎟⎠
再把 b1, b 2 , b3 单位化，得
188
⎜⎛
1 2
⎟⎞
⎜⎛
1 6
⎟⎞
⎜⎛
1 23
⎟⎞
e1
=
1 | b1
| b1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0
1
⎟⎟, e2
2
0
⎟⎟⎠
=
1 | b2
|b2
=
⎜0⎟
⎜ ⎜
−2 133
⎟⎟⎠⎞
．
三、向量的正交性
定义 7.4 如果非零向量组 a1 , a2 ,", am 两两正交，那么向量组 a1 , a 2 ,", a m 称为正
交向量组；特别地，如果 a1 ,a2 ,",am 全为单位向量，那么正交向量组 a1 ,a2 ,",am 称为
标准正交向量组．
例如，
⎜⎛ 1 ⎟⎞
,an
))⎟⎟⎞
⎟
)⎟⎟⎠
．
a
Τ 1
a
n
⎟⎞
a
Τ 2
a
n
⎟
a
#
Τ n
a
n
⎟ ⎟⎟⎠
如果 A 为正交矩阵，则 AΤ A = I ，即
( ) ai ,a j
=
a
Τ i
a
j
=
⎧1,i =
⎨ ⎩0,
i
≠
j． j
这说明， A 的列向量组 a1 ,a2 ,",an 是标准正交向量组．反之，如果 A 的列向量组
a1 , a2 ,", an 是标准正交向量组，即
a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ．
借助于三维向量的内积，我们可以表示向量的长度和两个向量间的夹角．
设向量 a = (a1, a2 , a3 ) ，那么 a 的长度| a |=
a⋅a =
a12
+
a
2 2
+ a32
．
设两个非零向量 a = (a1, a 2 , a 3 ) 与 b = (b1,b2 ,b3 ) 间的夹角为θ ,
由此可知 ，对正交矩阵 A ，有 A−1 = AΤ ．
设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 按列进行分块，那么
A = (a1 , a2 ,", an ) ,
⎜⎛
a
Τ 1
⎟⎞
AΤ
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a
Τ 2
#
a
Τ n
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
因此
⎜⎛a1Τ ⎟⎞
⎜⎛
a
Τ 1
a
1
a
Τ 1
a
2
"
A
Τ
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a
Τ 2
重点与难点：施密特正交化方法；
正交矩阵及其性质的应用.
重要解题方法：施密特正交化方法..
一、 引例（三维向量的内积）
在第四§2 中，我们已经定义两个向量的内积，并且给出它的坐标表示式.设两个向量
a = (a1, a2 , a3 ) ， b = (b1, b2 , b3 ) ，那么向量 a 与 b 的内积可表示为
准正交向量组． 此外，正交矩阵还具有下列的性质（证明从略）：
性质 1 如果 A 为正交矩阵，那么 A = ±1 ；
性质 2 如果 A 为正交矩阵，那么 A − 1 , A Τ 都是正交矩阵；
性质 3 如果 A 、 B 是同阶的正交矩阵，那么 AB, BA 也是正交矩阵．
例3 交矩阵．
设 x 是 n 维实列向量，且 xΤx = 1， H = I − 2xxΤ ．证明矩阵 H 是对称的正
那么
cosθ = a ⋅ b =
a1b1 + a2b2 + a3b3
.
ab
a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32
二、向量的内积及其性质
下面我们将三维向量的内积推广为 n 维向量的内积（将用新的记号）．
184
定义 7.1 那么实数
⎜⎛ a1 ⎟⎞ ⎜⎛ b1 ⎟⎞
设有两个
n
维实向量
下面我们介绍把V 的基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化的过程．
取
b1 = a1 ；
设
b 2 = a2 + kb1 ，
其中待定系数 k 由 (b 2 , b1 ) = 0 确定，此时向量组 b1, b 2 正交且与向量组 a1, a2 等价；重复
这种过程，最后设
b r = a r + k1b1 + k2b 2 + " + kr−1b r−1 ，
第七章
向量空间的正交性
把几何空间作为向量空间的具体模型，人们会发现向量本身的度量：向量的长度与两个 向量间的夹角．而在解析几何中，这两个度量是通过向量的内积来表示，我们将把这些概念
推广到任意 n 维向量空间．
§1 向量空间的内积
主要知识点：向量的内积；
正交向量组； 施密特正交化方法； 正交矩阵及其性质.
对任意 k(1 ≤ k ≤ r) ，向量组 b1 , b 2 ,",b k 与 a1 , a2 ,",ak 等价．
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
例2
已知 R 4 中的向量组 a1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0
⎟⎟, ⎟⎟⎠
a
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 1
⎟⎟, ⎟⎟⎠
a
3
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 0 0
其中待定系数 k1 ,k2 ,",kr-1 由 (br , b1 ) = 0, (b r , b 2 ) = 0,", (br , b r−1 ) = 0 确定．
这样可以得到正交向量组 b1 , b 2 ,", br ，容易验证 b1 , b 2 ,", br 与 a1 , a2 ,", ar 等价． 再把 b1 , b 2 ,", br 单位化，即取