3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．教学难点：理解空间向量基本定理．教学过程：一.复习引入平面向量基本定理及应用二.思考分析在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？提示：能．问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.三.抽象概括1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间向量的坐标表示以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 四.例题分析及练习[例1] 若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．[思路点拨] 判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底．∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．[感悟体会] 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． 训练题组11．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }， ③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA ，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝1AC ，a ＋b ＋c ＝1AC .由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC }能否作为空间的一个基底？解：假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y 使OA ＝x OB →＋y OC 成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)．＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1.此方程组无解，即不存在实数x ，y 使OA ＝x OB ＋y OC .∴OA ，OB ，OC 不共面． 故{OA ，OB ，OC }能作为空间的一个基底.[例2] 四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF ，BE ，AE ，EF .[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．[精解详析] 连接BO ，则BF ＝12BP ＝12(BO ＋OP )＝12(BA ＋AO ＋OP )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋12CP ＝－a ＋12(CO ＋OP )＝－a －12b ＋12c .AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋12(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c . EF ＝12CB ＝12OA ＝12a .[感悟体会] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则． 训练题组23．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1.若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则(x ，y ，z )为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：∵OG ＝341OG ＝34(OA ＋1OG )＝34OA ＋34×23[12(AB ＋AC )]＝34OA ＋14[(OB －OA )＋(OC －OA )]＝14OA ＋14OB ＋14OC ，而OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，∴x ＝14，y ＝14，z ＝14.答案：A4.如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，MA ＝－13AC ，ND ＝131A D .设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN .解：连接AN ，则MN ＝MA ＋AN .由ABCD 是平行四边形，得AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ， 则MA ＝－13AC ＝－13(a ＋b )．又1A D ＝AD －1AA ＝b －c ，故AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝AD －131A D ＝b －13(b －c )．故MN ＝MA ＋AN ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝13(－a ＋b ＋c ).[例3] 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN 的坐标．[思路点拨] 把MN 写成xe 1＋ye 2＋ze 3的形式即可得向量的坐标． [精解详析] 因为P A ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3.因为MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝MA ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC )＝－12AB ＋AP ＋12(－AP ＋AD ＋AB )＝12AP＋12AD ＝12e 3＋12e 2.∴MN ＝(0，12，12)．[感悟体会] 用坐标表示空间向量的方法与步骤：训练题组35.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同， 则2PF ＝AC ＋AB ＋1BB ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE ＝(2,2,1)．又∵DF ＝e 2，∴DF ＝(0,1,0)．6.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ，1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D )＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB ＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3，∴OD ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA )＝OB －OA －1AA ＝2e 2－4e 1－4e 3， ∴1A B ＝(－4,2，－4)． 五.课堂小结与归纳1．三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件．2．用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底{a ，b ，c }为单位正交基底，可由p ＝xa ＋yb ＋zc 得到p 的坐标为(x ，y ，z )． 六.当堂训练1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．答案：C2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c解析：能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面． ∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝32p －12q .∴A 、B 、C 都不合题意．因为{a ，b ，c }为基底， ∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 答案：D3.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M .设11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：1B M ＝11B A ＋1A A ＋AM ＝－11A B ＋1A A ＋12AC ＝－11A B ＋1A A ＋1211A B ＋1211A D ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A4．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，其中a ＝4i ＋j ，b ＝j ＋3k ，c ＝2k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为( ) A ．(7,3,12)B ．(12,7,3)C ．(2,4,6)D ．(12,3,7)解析：设O 为坐标原点，则OA ＝a ＋2b ＋3c ＝(4i ＋j )＋2(j ＋3k )＋3(2k ＋i )＝7i ＋3j ＋12k ， ∴点A 在{i ，j ，k }下的坐标为(7,3,12)． 答案：A5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．解析：若x ≠0，则a ＝－y x b ＋zxc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0. 答案：x ＝y ＝z ＝06．已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为________．解析：∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.答案：52，－1，－127.如图所示，空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，D 为BC 的中点，H 为OD 的中点．设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量GH . 解：GH ＝OH －OG .∵OH ＝12OD ＝12(OB ＋OC )＝12(b ＋c )，OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋23AD ＝OA ＋23(OD －OA )＝13OA ＋23×12(OB ＋OC )＝13a ＋13(b ＋c )，∴GH ＝12(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ＋16b ＋16c ，即GH ＝－13a ＋16b ＋16c .8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：1AO －12AB －12AD ；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA ，试求x ，y ，z的值．解：(1)∵AB ＋AD ＝AC ，∴1AO －12AB －12AD ＝1AO －12(AB ＋AD )＝1AO －12AC ＝1AO －AO ＝1A A . (2)∵EO ＝ED ＋EO ＝231D D ＋12DB ＝231D D ＋12(DA ＋AB )＝231A A ＋12DA ＋12AB ＝12AB －12AD －231A A ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.。