探求三角形的外接圆半径 泰州市二中附属初中 王 征
我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。

一、特殊三角形 1.直角三角形
例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.
分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜
边。

解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，
∴AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴∠C ＝90°，
∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形
例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D. ∵∠BAE=∠DAB ，∴△ABE ∽△ADB,
∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB . ∵△ABE ∽△ADB ，∴
AB
AE
AD AB = A
B
C
O
∴188
122
2===AE AB AD ,
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴ 锐角三角形
例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝60°，求△
径r.
分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.
∴∠D ＝∠C ＝＝60°，∠DBA ＝90°. ∴AD ＝
D
sin AB ＝
︒
60sin 10＝3
3
20
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3
3
10.
⑵ 钝角三角形
例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.（用三角函数表示） 分析：方法同例3. 解：作直径BD ，连结AD.
则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝
D
sin AB ＝
︒
80sin 10
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为︒
80sin 5.
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角
例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.
则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2
1AC ＝1，AE ＝
3
，
BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝
7
∴AD ＝
D
sin AB ＝
︒
60sin 7＝21
3
2
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.
3.已知三边
例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相
似三角形就可以求出直径AD.
解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.
则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C ∴△ADB ∽△ACE ， ∴AB
AE AD
AC =
设CE ＝x,
∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12
∴15
1213=AD
，∴AD ＝465
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为8
65. 4.已知两边及第三边上的高
例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD ⊥BC ，且AD=5，求△ABC 外
接圆⊙O 的半径r.
分析：作出直径AE ，构造Rt △ABE ，利用相似三角形就可以求出直径AE. 解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ，
A
B
C
O
D E
A
B
C
O
D E
则∠ABE ＝90°. ∵∠E ＝∠C ，
∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ， ∴AC
AE AD
AB =，
∴6
57AE =， ∴AE=5
42.
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.。