第19题 数列中最值问题的解题策略
[高考透视]
1.主要类型:(1)数列中的恒成立问题的求解.(2)数列中最大项与最小项问题的求解.(3)数列中前n 项和的最值问题.(4)证明不等式时构建函数求最值(值域).
2.解题思路:结合条件与待求问题,把所求问题转化为关于n 的函数或方程问题求解.
3.注意事项:(1)数列是定义在N *或其子集上的特殊函数,因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求.
(2)求解过程中要注意项数n 的取值范围,防止出错.
【典例】 (12分)(2014·天津模拟)已知函数f (x )=log m x (m 为常数,0<m <1),且数列{f (a n )}是首项为2,公差为2的等差数列.
(1)若b n =a n ·f (a n ),当m =22
时,求数列{b n }的前n 项和S n . (2)设c n =a n ·lg a n ,如果{c n }中的每一项恒小于它后面的项,求m 的取值范围.
[审题:分析信息,形成思路]
(1)切入点:求f (a n ),进而求出a n ;
关注点:求S n 时应注意求和方法的选择.
(2)切入点:根据a n 求c n ,把恒成立问题转化为求函数的最值问题;
关注点:根据函数的单调性求最值.
[解题:规范步骤,水到渠成]
【解】 (1)由题意f (a n )=2+(n -1)×2=2n ,
即log m a n =2n ,所以a n =m 2n .b n =a n ·f (a n )=2n ·m 2n ,
当m =22
时,b n =a n ·f (a n )=n ·⎝⎛⎭⎫12n -1.2分 所以S n =1·⎝⎛⎭⎫120+2·⎝⎛⎭⎫121+3·⎝⎛⎭⎫122+…+n ·⎝⎛⎭
⎫12n -1,(i) 12
S n =1·⎝⎛⎭⎫121+2·⎝⎛⎭⎫122+3·⎝⎛⎭⎫123+…+n ·⎝⎛⎭⎫12n .(ii) (i)-(ii),
得12
S n =1·⎝⎛⎭⎫120+⎝⎛⎭⎫121+⎝⎛⎭⎫122+…+⎝⎛⎭⎫12n -1-n ·⎝⎛⎭⎫12n =1×⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12
-n ·⎝⎛⎫12n ,4分 所以S n =-(n +2)⎝⎛⎭⎫12n -1+4.6分
(2)由(1)知,c n =a n ·lg a n =2n ·m 2n lg m ,要使c n <c n +1对一切n ∈Z *成立②,
即n lg m <(n +1)m 2lg m 对一切n ∈N *成立.
0<m <1,所以lg m <0,所以n >(n +1)m 2,对一切n ∈N *恒成立,只需m 2<⎝⎛⎭
⎫n n +1min ,8分 n n +1=1-1n +1
单调递增,所以当n =1时,⎝⎛⎭⎫n n +1min =12.10分 所以m 2<12
,且0<m <1, 所以0<m <22.所以m 的范围为⎝
⎛⎭⎫0,22.12分 [变题]
(2014·山东济宁二模)已知数列{b n }满足S n +b n =n +132
,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. (1)求证:数列{b n -12
}是等比数列,并求数列{b n }的通项公式;
(2)如果对任意n ∈N *,不等式12k 12+n -2S n
≥2n -7恒成立,求实数k 的取值范围. 【解】 (1)对于任意n ∈N *,S n +b n =n +132
① S n +1+b n +1=(n +1)+132
② ②-①得b n +1=12b n +14
, 所以b n +1-12=12(b n -12
). 又由①式知,S 1+b 1=142,即b 1=72
. 所以数列{b n -12}是首项为b 1-12=3,公比为12
的等比数列, b n -12=3×(12)n -1,b n =3×(12)n -1+12
. (2)因为b n =3×(12)n -1+12
, 所以S n =3(1+12+122+…+12n -1)+n 2=3(1-12n )1-12
+n 2=6(1-12n )+n 2. 因为不等式12k 12+n -2S n
≥2n -7,化简得k ≥2n -72n ,对任意n ∈N *恒成立, 设c n =2n -72n ,则c n +1-c n =2(n +1)-42n +1-2n -72n =9-2n 2
n +1, 当n ≥5时,c n +1≤c n ,c n 为单调递减数列,
当1≤n <5时,c n +1>c n ,c n 为单调递增数列,
116=c 4<c 5=332,所以,n =5时,c n 取得最大值332
, 所以,要使k ≥2n -72n 对任意n ∈N *恒成立,k ≥332
. ∴实数k 的取值范围是[332
,+∞). 【典例2】已知首项为32
的等比数列{a n }不是..递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设T n =S n -1S n
(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列,所以S 5+a 5-
S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3,于是q 2=a 5a 3=14.又{a n }不是递减数列且a 1=32
,所以q =-12.故等比数列{a n }的通项公式为a n =32×⎝⎛⎭⎫-12n -1=(-1)n -1·32n . (2)由(1)得S n =1-⎝⎛⎭⎫-12n =⎩⎨⎧ 1+12n ,n 为奇数,1-12n ,n 为偶数.
当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小,所以1<S n ≤S 1=32,故0<S n -1S n ≤S 1-1S 1=32-23=56
. 当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34=S 2≤S n <1,故0>S n -1S n ≥S 2-1S 2=34-43=-712
. 综上,对于n ∈N *,总有-712≤S n -1S n
≤56. 所以数列{T n }的最大项的值为56,最小项的值为-712
. 【变式】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=3,若数列{S n +1}是公比为4的等比数列.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =a n +1(a n +1-3)·S n +1
,n ∈N *,设数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的取值范围。
解:(1)由题意知S n +1=(S 1+1)·4n -1=4n ,
所以S n =4n -1.
当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3·4n -
1,且a 1=3满足上式, 所以数列{a n }的通项公式为a n =3·4n -
1. (2)b n =a n +1(a n +1-3)·S n +1=4n
(4n -1)(4n +1-1)
=13⎝⎛⎭
⎫14n -1-14n +1-1, T n =b 1+b 2+…+b n =13⎝⎛⎭⎫141-1-142-1+13·⎝⎛ 142-1
-
⎭⎫143-1+…+13⎝⎛⎭⎫14n -1-14n +1-1 =13⎝⎛⎭⎫141-1-14n +1-1=19-13(4n 1-1).。