高考数学大题训练及解析1.三角知识(命题意图：在三角形中，考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 sin C 2＝104. (1)求cos C 的值；(2)若△ABC 的面积为3154，且sin 2A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，求a ，b 及c 的值.解 (1)因为sin C 2＝104， 所以cos C ＝1－2sin 2C 2＝－14.(2)因为sin 2A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＝1316c 2，①由余弦定理得a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，将cos C ＝－14代入，得ab ＝38c 2，②由S △ABC ＝3154及sin C ＝1－cos 2C ＝154，得ab ＝6，③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，c ＝4.经检验，满足题意.所以a ＝2，b ＝3，c ＝4或a ＝3，b ＝2，c ＝4.2.数列(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等.)(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2).(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜32.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n－1S n －1＝2，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)可知，1S n＝1S 1＋(n －1)×2＝2n －1，∴S n ＝12n －1，∴当n ≥2时，1n S n ＝1n （2n －1）＜1n （2n －2）＝12·1n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n＜1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝32－12n ＜32.星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率统计(命题意图：考查独立性检验及超几何分布列问题) (本小题满分12分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据(人数)：(1)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？ (2)进一步调查：①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；②从反对“男女延迟退休”的9人选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解 (1)K 2的观测值k ＝25×（5×3－6×11）216×9×11×14≈2.932＞2.706，由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关. (2)①记题设事件为A ，则所求概率为P (A )＝C 15C 211＋C 25C 111C 316＝1116， ②根据题意，X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0，1，2，3.X 的分布列为：X 0 1 2 3 P5211528314184X 的数学期望为E (X )＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1. 2.立体几何(命题意图：考查线线垂直及面面角的求解) (本小题满分12分)在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点. (1)求证：BD ⊥EG ；(2)求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.(1)证明 ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，又AE ⊥BE ， ∴BE ，EF ，AE 两两垂直，以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x ，y ，z 轴.建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，F (0，3，0)，D (0，2，2)，G (2，2，0)， ∴EG→＝(2，2，0)，BD →＝(－2，2，2)， ∴BD→·EG →＝－2×2＋2×2＝0，∴BD ⊥EG . (2)解 由已知得EB→＝(2，0，0)是平面DEF 的法向量， 设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z ) ， ∵ED→＝(0，2，2)，EG →＝(2，2，0)， ∴⎩⎨⎧EG →·n ＝0，ED→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，1)，设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ， 则|cos 〈n ，EB →〉|＝n ·EB →|n |·|EB →|＝223＝33，则cos θ＝33. ∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33.星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题)(本小题满分12分)如图，已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，以BF 2为直径的圆D 经过椭圆的上顶点A ，且|BF 1→|＝|AF 1→|，F 1A →·BA →＝6. (1)求椭圆C 的方程及圆D 的方程；(2)斜率为k 的直线l 过右焦点F 2，且与椭圆C 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在点P (m ，0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形为菱形，求实数m 的取值范围.解 (1)因为以BF 2为直径的圆经过椭圆的上顶点A ，且|BF 1→|＝|AF 1→|， 所以∠BAF 2＝π2，∠BAF 1＝∠ABF 1， 所以∠F 1AF 2＋∠BAF 1＝∠AF 2B ＋∠ABF 1， 所以∠F 1AF 2＝∠AF 2F 1， 所以△F 1AF 2是等边三角形. 所以|AF 1→|＝|F 1F 2→|＝|BF 1→|＝2c ，又|AF 1→|2＝|OF 1→|2＋|OA →|2，即4c 2＝c 2＋b 2＝a 2， 则B (－3c ，0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )， 所以F 1A →·BA →＝(c ，b )·(3c ，b )＝3c 2＋b 2＝6， 所以a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 由F 1(－1，0)，|AF 1→|＝2，得 圆D 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知F 2(1，0)，则l ：y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则Δ＝(－8k 2)2－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16×9(k 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，所以PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2). 由于菱形的对角线互相垂直，则(PM →＋PN →)·MN→＝0， 因为MN →的一个方向向量是(1，k )，故x 1＋x 2－2m ＋k (y 1＋y 2)＝0，所以x 1＋x 2－2m ＋k 2(x 1＋x 2－2)＝0，所以k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0， 由已知条件知k ≠0，所以m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，所以0＜m ＜14， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查曲线的切线、最值及数列不等式的证明等.) (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1，g (x )＝ln(x ＋1).(1)当实数a 为何值时，函数g (x )在x ＝0处的切线与函数f (x )的图象相切；(2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )＋g (x )≤x ＋1恒成立，求a 的取值范围；(3)已知n ∈N *，试判断g (n )与g ′(0)＋g ′(1)＋…＋g ′(n －1)的大小，并证明之.解 (1)∵g (x )＝ln(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x ＋1，g ′(0)＝1，故g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝ax 2＋1，得ax 2－x ＋1＝0， ∴Δ＝1－4a ＝0， ∴a ＝14.(2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )＋g (x )≤x ＋1恒成立， 即ax 2＋ln(x ＋1)－x ≤0恒成立. 设h (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)－x (x ≥0)， 只需h (x )max ≤0即可.h ′(x )＝2ax ＋1x ＋1－1＝x [2ax ＋（2a －1）]x ＋1.①当a ＝0时，h ′(x )＝－xx ＋1，当x ＞0时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0，＋∞)上单调递减， 故h (x )≤h (0)＝0成立.②当a ＞0时，由h ′(x )＝0，得x ＝12a －1或x ＝0.1° 12a －1＜0，即a ＞12时，在区间(0，＋∞)上，h ′(x )＞0，则函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )在(0，＋∞)上无最大值，此时不满足条件.2° 若12a －1≥0，即0＜a ≤12时，函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a －1上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞上单调递增，同样h (x )在[0，＋∞)上无最大值，不满足条件.③当a ＜0时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0，＋∞)上单调递减，故h (x )≤h (0)＝0成立，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0]. (3)结论：g (n )＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋…＋g ′(n －1).证明：当a ＝0时，ln(x ＋1)≤x (当且仅当x ＝0时取等号)，令x ＝1n ，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＜1n ， ∴ln(n ＋1)－ln n ＜1n . 故有ln(n ＋1)－ln n ＜1n ， ln n －ln(n －1)＜1n －1，ln(n －1)－ln(n －2)＜1n －2，……ln 3－ln 2＜12，ln 2－ln 1＜1， 所以ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋…＋1n ， 即g (n )＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋…＋g ′(n －1).星期五 (选考系列) 2017年____月____日一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值.解 (1)C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝2，C 2：y ＝a ， 因为曲线C 1关于曲线C 2对称，a ＝1，C 2：y ＝1.(2)|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OB |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ，|OC |＝22sin φ，|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为[－1，5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2，且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2). 解 (1)因为|x －a |≤m ，所以a －m ≤x ≤a ＋m ，⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，∴a ＝2，m ＝3.(2)a ＝2时等价于|x －2|＋t ≥|x |，当x ≥2，x －2＋t ≥x ，∵0≤t ＜2，所以舍去， 当0≤x ＜2，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立. 当x ＜0，2－x ＋t ≥－x 成立，所以原不等式解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22. 星期六 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟.)1.(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *).(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)，且λa n ＞2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5. 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1， 当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6 ＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n ＞2n ＋n ＋2λ得λ＞2n ＋n 2n ＋1＝12＋n2n ＋1，n ＋12n ＋2－n2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以，当n ＝1，2时， 2n ＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.2.(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 与△P AD 都是等边三角形. (1)证明：PB ⊥CD ；(2)求二面角A －PD －B 的余弦值.(1)证明 取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ADEB 为正方形，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ， 连接OA ，OB ，OE ，OD ，由△P AB 和△P AD 都是等边三角形可知P A ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ADEB 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而OE ⊥平面PBD ，所以OE ⊥PB ， 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD ，因此PB ⊥CD .(2)解 由(1)可知，OE ，OB ，OP 两两垂直，以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (－2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2) AD→＝(2，－2，0)，AP →＝(2，0，2)， 设平面P AD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎨⎧n ·AD →＝2x －2y ＝0，n ·AP→＝2x ＋2z ＝0，取x ＝1，得y ＝1，z ＝－1，即n ＝(1，1，－1)， 因为OE ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量为m ， 取m ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝13·1＝33，由图象可知二面角A －PD －B 的大小为锐角. 所以，二面角A －PD －B 的余弦值为33.3.(本小题满分12分)“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车.” 2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.(1)求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点)(2)求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x 、y (mg/100 mL)，则事件|x －y |≤10的概率是多少？解 (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上者，共有0.05×60＝3人.(2)由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值＝25×0.25＋35×0.15＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.1＋75×0.1＋85×0.05＝47(mg/100 mL). (3)第五组和第七组的人分别有：60×0.1＝6人，60×0.05＝3人. |x －y |≤10即选的两人只能在同一组中.P (|x －y |≤10)＝C 26＋C 23C 29＝15＋336＝12.4.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，一个焦点为(3，0). (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q .求|AB ||PQ |的取值范围.解 (1)由题意得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k1＋4k 2.所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋4k2，－k 1＋4k 2， 所以线段AB 的垂直平分线方程为 y －－k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 21＋4k 2. 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 21＋4k 2，0，又点P (1，0)，所以|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3k 21＋4k 2＝1＋k 21＋4k 2.又|AB |＝（1＋k 2）[（8k 21＋4k 2）2－4·4k 2－41＋4k 2]＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）1＋4k 2.于是，|AB ||PQ |＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）1＋4k 21＋k 21＋4k 2＝41＋3k 21＋k 2＝43－21＋k 2. 因为k ≠0，所以1＜3－21＋k 2＜3.所以|AB ||PQ |的取值范围为(4，43).5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2ax 2＋bx ＋1)e －x (e 为自然对数的底数).(1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (1)＝1，且方程f (x )＝1在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12，f (x )＝(x 2＋bx ＋1)e －x ， f ′(x )＝－[x 2＋(b －2)x ＋1－b ]e －x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－b .当b ＝0，f ′(x )≤0；当b ＞0时，当1－b ＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＜1－b 或x ＞1时， f ′(x )＜0；当b ＜0时，当1＜x ＜1－b 时，f ′(x )＞0，当x ＞1－b 或x ＜1时， f ′(x )＜0.综上所述，b ＝0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)；b ＞0时，f (x )的单调递增区间为(1－b ，1)，递减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)；b ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，1－b )，递减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞).(2)由f (1)＝1得2a ＋b ＋1＝e ，b ＝e －1－2a .由f (x )＝1得e x ＝2ax 2＋bx ＋1，设g (x )＝e x －2ax 2－bx －1，则g (x )在(0，1)内有零点.设x 0为g (x )在(0，1)内的一个零点，则由g (0)＝0、g (1)＝0知g (x )在区间(0，x 0)和(x 0，1)上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h (x )＝g ′(x )，则h (x )在区间(0，x 0)和(x 0，1)上均存在零点，即h (x )在(0，1)上至少有两个零点.g ′(x )＝e x －4ax －b ，h ′(x )＝e x －4a .当a ≤14时，h ′(x )＞0，h (x )在区间(0，1)上递增，h (x )不可能有两个及以上零点；当a ≥e4时，h ′(x )＜0，h (x )在区间(0，1)上递减，h (x )不可能有两个及以上零点；当14＜a ＜e4时，令h ′(x )＝0得x ＝ln(4a )∈(0，1)， 所以h (x )在区间(0，ln(4a ))上递减，在(ln(4a )，1)上递增，h (x )在区间(0，1)上存在最小值 h (ln(4a )).若h (x )有两个零点，则有h (ln(4a ))＜0，h (0)＞0，h (1)＞0. h (ln(4a ))＝4a －4a ln(4a )－b ＝6a －4a ln(4a )＋1－e ⎝⎛⎭⎪⎫14＜a ＜e 4.设φ(x )＝32x －x ln x ＋1－e(1＜x ＜e)， 则φ′(x )＝12－ln x ，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当1＜x ＜e 时φ′(x )＞0，φ(x )递增，当e ＜x ＜e 时φ′(x )＜0，φ(x )递减，φ(x )max ＝φ(e)＝e ＋1－e ＜0，所以h (ln(4a ))＜0恒成立.由h (0)＝1－b ＝2a －e ＋2＞0，h (1)＝e －4a －b ＞0，得e －22＜a ＜12.当e －22＜a ＜12时，设h (x )的两个零点为x 1，x 2，则g (x )在(0，x 1)递增，在(x 1，x 2)递减，在(x 2，1)递增，所以g (x 1)＞g (0)＝0，g (x 2)＜g (1)＝0，则g (x )在(x 1，x 2)内有零点.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e －22，12. 6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围.解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2， 将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y 得z ＝－t ，又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2， 所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2.即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3.∴a －3＝－2，∴a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－12，4，－12＜n ≤12，2＋4n ，n ＞12，∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞).星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1. 三角(命题意图：考查正、余弦定理、面积公式及三角恒等变换) (本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足a cos A ＝c 2－cos C. (1)若b ＝4，求a ；(2)若c ＝3，△ABC 的面积为3，求证：3sin C ＋4cos C ＝5.(1)解 由a cos A ＝c 2－cos C 得sin A cos A ＝sin C 2－cos C. ∴2sin A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，即2a ＝b ，∵b ＝4，∴a ＝2.(2)证明 ∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝a 2sin C ＝3，①∵c ＝3，∴a 2＋4a 2－4a 2cos C ＝9，②由①②消去a 2得3sin C ＝5－4cos C ，即3sin C ＋4cos C ＝5.2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及求和) (本小题满分12分)已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4.(1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1，2，3…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2q n －1.由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2. 由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n ) ＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n ).令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，∴2A ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，两式相减，得－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2.又S 2n ＝2n （1＋a 2n ）2＝4n 2， ∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2＝3＋4n 2＋(n －1)·2n ＋1.星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率统计(命题意图：考查分层抽样、频率及离散型随机变量的分布列、期望)(本小题满分12分)为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x ，y 的含量(单位：毫克).当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175，且y ≥75时，该产品为优等品.已知该天甲厂生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)求乙厂该天生产的产品数量；(2)用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品的件数X 的分布列及数学期望.解 (1)乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35；(2)样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14；(3)由表可得X ＝0，1，2，P (X ＝i )＝C i 2C 2－i 3C 25(i ＝0，1，2)，X 的分布列为E (X )＝0×310＋1×35＋2×110＝45.2.立体几何(考查线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD中点.(1)求证：直线AF∥平面PEC；(2)求直线PC与平面P AB所成角的正弦值.(1)证明 作FM ∥CD 交PC 于M ，连接EM .∵点F 为PD 中点，∴FM ＝12CD . ∴AE ＝12AB ＝FM ，∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线AF ∥平面PEC .(2)解 连接DE ，∵∠DAB ＝60°，∴DE ⊥DC ，如图所示，建立坐标系，则P (0，0，1)，C (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0， ∴AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，1，AB →＝(0，1，0).设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z ).∵n ·AB →＝0，n ·AP→＝0， ∴⎩⎨⎧－32x ＋12y ＋z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则z ＝32， ∴平面P AB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，32. ∵PC→＝(0，1，－1)， ∴设向量n 与PC→所成角为θ， cos θ＝n ·PC →|n ||PC →|＝－3274×2＝－4214. ∴直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值为4214.星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题)(本小题满分12分)已知椭圆M ：x 24b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4＋2 3.(1)求椭圆M 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围.解 (1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，又a ＝2b ，所以c ＝3b ，所以b ＝1，则a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k 2， 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2＝k 2， 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12， 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1.则S △OPQ ＝12|y 1－y 2|·|2m |＝12|x 1－x 2|·|m |＝12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2|m |＝m 2（2－m 2），所以S △OPQ 的取值范围为(0，1).星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数的单调性及不等式恒成立问题，考查等价转化思想)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(3－a )x －2＋a －2ln x (a ∈R ).(1)若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，求a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3－a －2x ＝（3－a ）x －2x. 当a ≥3时，有f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(1，3)上单调递减；当a ＜3时，令f ′(x )＝0，得x ＝23－a，若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，则23－a ≤1或23－a≥3，解得a ≤1或73≤a ＜3； 综上，a 的取值范围是(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，＋∞. (2)因为当x →0时，g (x )→＋∞，所以g (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能， 故要使函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g (x )＞0恒成立，即对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a ＞2－2ln x x －1恒成立， 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则l ′(x )＝－2x （x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x －2（x －1）2， 再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）x 2＜0， 故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2＞0， 从而l ′(x )＞0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数， 所以l (x )＜l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2， 故要使a ＞2－2ln x x －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)， 综上，若函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 星期五 (选考系列) 2017年____月____日一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，动点A 的坐标为(2－3sin α，3cos α－2)，其中α∈R .在极坐标系(以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线C 的方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a . (1)判断动点A 的轨迹的形状；(2)若直线C 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值. 解 (1)设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3sin α，y ＝3cos α－2，∴动点A 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝9，其轨迹是圆心坐标为(2，－2)，半径为3的圆.(2)直线C 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 化为直角坐标方程是2x ＋2y ＝2a ，由|22－22－2a |2＝3，得a ＝3或a ＝－3. 二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|，x ∈R .不等式f (x )≤6的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：3|a ＋b |≤|ab ＋9|.(1)解 |x ＋2|＋|x －2|≤6等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－2x ≤6，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，4≤6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ≤6. 解得－3≤x ≤3，∴M ＝[－3，3].(2)证明 当a ，b ∈M 时，即－3≤a ≤3，－3≤b ≤3时，要证3|a ＋b |≤|ab ＋9|，即证9(a ＋b )2≤(ab ＋9)2，而9(a ＋b )2－(ab ＋9)2＝9a 2＋9b 2－a 2b 2－81＝(b 2－9)(9－a 2)≤0， 所以3|a ＋b |≤|ab ＋9|.星期六 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n （n －1）2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n ，若对任意的n ∈N *，总有S n ＋1＞S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝n （n －1）2，n ∈N *，得T n ＝2n （n －1）2， 所以T n －1＝2（n －1）（n －2）2(n ∈N *，n ≥2)， 所以a n＝T n T n －1＝2n （n －1）22（n －1）（n －2）2＝2n （n －1）2－（n －1）（n －2）2＝2n －1，n ∈N *，n ≥2. 又a 1＝T 1＝20＝1，适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·1－2n1－2－n ＝(2n －1)λ－n . 所以S n ＋1＞S n ⇔(2n ＋1－1)λ－(n ＋1)＞(2n －1)λ－n ⇔2n λ＞1⇔λ＞12n .因为对任意的n ∈N *，12n ≤12，故所求的λ取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 2.(本小题满分12分)如图，已知空间四边形ABCD 在平面α上的射影是梯形FBCE ，BC ∥EF ，BC ⊥BF ，BC＝2EF ＝2AF ＝4DE .又平面ABC 与平面α所成的二面角的大小为45°.(1)求异面直线AB 与CD 所成角的大小；(2)设直线BD 交平面AFC 于点O ，求比值BO OD .解 (1)如图，以点F 为原点，FB ，FE ，F A 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.因为AF ⊥平面FBCE ，BC ⊥BF ，所以BC ⊥AB ，所以∠ABF 就是平面ABC 与平面α所成的二面角的平面角，所以∠ABF ＝45°，从而|AF |＝|BF |.令|DE |＝a ，则|AF |＝|EF |＝|BF |＝2a ，|BC |＝4a ，A (0，0，2a )，B (2a ，0，0)，C (2a ，4a ，0)，D (0，2a ，a ).所以AB→＝(2a ，0，－2a )，CD →＝(－2a ，－2a ，a )，cos 〈AB →，CD →〉＝－4a 2－2a 222a ·3a＝－22. 所以〈AB →，CD →〉＝135°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为45°.(2)连接BE 、CF 交于点G ，再连接OG .因为DE ∥AF ，DE ⊄平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，所以DE ∥平面AFC .又平面BDE ∩平面AFC ＝OG ，所以OG ∥DE ， 所以BO OD ＝BG GE .由△EFG ∽△BCG ，得EG BG ＝EF BC ＝12，所以BO OD ＝BG GE ＝2.3.(本小题满分12分)某校高三文科有四个班，一次联考后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班抽取了22人，抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形如图所示，其中120～130的频率为0.05，此分数段的人数为5人.(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？(2)若以各小组的中值作为该组的估计值，频率作为概率的估计值，求数学得分的期望E(X)和方差D(X)；(3)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率.解(1)由频率分布条形图知，抽取的学生总数为50.05＝100人.因为各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d，由4×22＋6d ＝100，解得d＝2.所以各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. (2)E(X)＝75×0.05＋85×0.20＋95×0.35＋105×0.25＋115×0.10＋125×0.05＝0.05×(75＋85×4＋95×7＋105×5＋115×2＋125)＝98；D(X)＝232×0.05＋132×0.20＋32×0.35＋72×0.25＋172×0.100＋272×0.05＝141.(3)在抽取的学生中，任取一名学生，则分数不小于90分的概率为0.35＋0.25＋0.10＋0.05＝0.75.4.(本小题满分12分)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点，作平行四边形OCED ，点E 恰在椭圆上.(1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED 的面积为26，求椭圆的方程.解 (1)∵焦点为F (c ，0)，AB 的斜率为b a ，故直线CD 的方程为y ＝b a (x－c ).与椭圆方程联立后消去y 得到2x 2－2cx －b 2＝0.∵CD 的中点为G ⎝⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 在椭圆上. ∴将E 的坐标代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，∴离心率e ＝c a ＝22.(2)由(1)知c a ＝22，b ＝c ，则直线CD 的方程为y ＝22(x －c )，与椭圆方程联立消去y 得到2x 2－2cx －c 2＝0.∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c |y C －y D |＝22c （x C ＋x D ）2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2＝62c 2＝26，所以c ＝2，b ＝2，a ＝2 2.故椭圆方程为x 28＋y 24＝1.5.(本小题满分12分)设函数f (x )＝12x 2＋(2m －3)x ＋ln x (m ∈R ).(1)讨论函数f (x )在定义域上的单调性；(2)若对任意的x ∈(1，2)，总有f (x )＜－2，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋2m －3＋1x ＝x 2＋（2m －3）x ＋1x. 令x 2＋(2m －3)x ＋1＝0，则Δ＝(2m －3)2－4＝(2m －1)(2m －5).①当12≤m ≤52时，Δ≤0，所以x 2＋(2m －3)x ＋1≥0，从而f ′(x )≥0；②当m ＞52时，因为x ＞0，所以x 2＋(2m －3)x ＋1＞x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×52－3x ＋1＝x 2＋2x ＋1＞0，所以f ′(x )＞0； ③当m ＜12时，Δ＞0，方程x 2＋(2m －3)x ＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(不妨设x 1＜x 2).因为x 1＋x 2＝3－2m ＞3－2×12＝2＞0，x 1x 2＝1＞0，所以x 1＞0，x 2＞0，所以当x 1＜x ＜x 2时，x 2＋(2m －3)x ＋1＜0，从而f ′(x )＜0； 当0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，x 2＋(2m －3)x ＋1＞0，从而f ′(x )＞0.综上可知，当m ≥12时，函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当m ＜12时，函数f (x )在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在区间(x 1，x 2)上单调递减，其中x 1＝3－2m －（2m －3）2－42， x 2＝3－2m ＋（2m －3）2－42. (2)法一 由(1)知，当m ≥12时，函数f (x )在区间(1，2)上单调递增，所以f (x )＞f (1)＝12＋2m －3≥12＋2×12－3＝－32＞－2，故f (x )＜－2不成立.当m ＜12时，函数f (x )在区间(x 1，x 2)上单调递减，在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增.由x 1＞0，x 2＞0，x 1x 2＝1，知0＜x 1＜1＜x 2，所以在区间[1，2]上，f (x )max ＝max{f (1)，f (2)}. 因为f (1)＝12＋2m －3＝2m －52，f (2)＝2＋2(2m －3)＋ln 2＝4m －4＋ln 2，所以⎩⎨⎧2m －52≤－2，4m －4＋ln 2≤2，解得⎩⎨⎧m ≤14，m ≤2－ln 24.而14－2－ln 24＝ln 2－14＜0，所以m ≤14.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14. 法二 f (x )＜－2，即12x 2＋(2m －3)x ＋ln x ＜－2.在区间(1，2)上，12x 2＋(2m －3)x ＋ln x ＜－2⇔2m －3＜－12x 2＋ln x ＋2x＝－12x －ln x ＋2x . 令g (x )＝－12x －ln x ＋2x ，x ∈(1，2)，则g ′(x )＝－12－1－（ln x ＋2）x 2＝－x 2＋2ln x ＋22x 2. 令h (x )＝－x 2＋2ln x ＋2，x ∈(1，2)，则h ′(x )＝－2x ＋2x ＝2（1－x 2）x＜0， 所以函数h (x )在区间(1，2)上单调递减.因为h (1)＝1＞0，h (2)＝2ln 2－2＜0，所以存在唯一的x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0，且当x ∈(1，x 0)时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0；当x ∈(x 0，2)时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0.所以函数g (x )在区间(1，x 0)上单调递增，在区间(x 0，2)上单调递减，因此在[1，2]上，g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}.因为g (1)＝－12－2＝－52，g (2)＝－1－ln 2＋22＝－2－ln 22，所以g (2)－g (1)＝12－ln 22＝1－ln 22＞0，即g (2)＞g (1).故当x ∈(1，2)时，g (x )＞g (1).因此2m －3≤－52，m ≤14.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14. 6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2＋2sin t(t 为参数)，P 是C 上任意一点.以x 轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，求P 到直线l 的最大距离.解 (1)由x ＝3cos t ，y ＝2＋2sin t ，消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程为x 29＋（y －2）24＝1. (2)直线l 的直角坐标方程为y ＝x .设与直线l 平行的直线方程为y ＝x ＋m ，代入x 29＋（y －2）24＝1，整理得13x 2＋18(m －2)x ＋9[(m －2)2－4]＝0. 由Δ＝[18(m －2)]2－4×13×9[(m －2)2－4]＝0，得(m －2)2＝13， 所以m ＝2±13.当点P 位于直线y ＝x ＋2＋13与曲线C 的交点(切点)时，点P 到直线l 的距离最大，为2＋132＝22＋262. 或：设点P (3cos t ，2＋2sin t )，则点P 到直线x －y ＝0的距离为|3cos t －2－2sin t |2＝|13sin （t －φ）＋2|2，其中cos φ＝213，sin φ＝313. 所以距离的最大值是13＋22＝22＋262. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ＜0.(1)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥2； (2)若不等式f (x )＋f (2x )＜12的解集非空，求a 的取值范围.(1)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x －a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －a ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2. (2)解 y ＝f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x ≤a ，－x ，a ＜x ≤a 2，3x －2a ，x ＞a 2.函数图象为：当x ＝a 2时，y min ＝－a 2，依题意，－a 2＜12，则a ＞－1，∴a的取值范围是(－1，0).星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1.三角(命题意图：考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的最值(值域))(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos C cos A . (1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ， 利用正弦定理可得2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ， 化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6＝3sin B ＋cos B＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵B ＋C ＝2π3，0＜B ＜π2， ∴π6＜B ＜π2， ∴π3＜B ＋π6＜2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈(3，2].2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及数列的最值问题) (本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70且a 1，a 2，a 6成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n ，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值.解 (1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋5d ）⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝0(舍)， ∴a n ＝3n －2.(2)S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2， ∴b n ＝3n 2－n ＋48n＝3n ＋48n －1≥23n ·48n －1＝23，当且仅当3n ＝48n ，即n ＝4时取“＝”号， 数列{b n }的最小项是第4项，b 4＝23.星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率统计(命题意图：考查二项分布及独立性检验问题)(本小题满分12分)2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：(1)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望(2)根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由.参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b＋c ＋d .参考数据：解 (1)由已知得70后“生二胎”的概率为23，并且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k(k ＝0，1，2，3). 其分布列如下：X 0 1 2 3 P1272949827所以E (X )＝3×23＝2.(2)K 2的观测值k ＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（30×10－45×15）275×25×45×55＝10033≈3.030＞2.706，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.2.立体几何(命题意图：考查折叠下的垂直问题及二面角的求解问题) (本小题满分12分)如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM . (1)求证：AD ⊥BM ；(2)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E －AM －D 的余弦值为55.(1)证明 ∵长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点， ∴AM ＝BM ＝2，又AM 2＋BM 2＝AB 2，∴AM ⊥BM ， ∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴BM ⊥平面ADM ，∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM .(2)解 建立如图所示的直角坐标系，则平面ADM 的一个法向量n ＝(0，1，0)，则A (1，0，0)，M (－1，0，0)，D (0，0，1)，B (－1，2，0)， 则MD→＝(1，0，1)， DB→＝(－1，2，－1). 设DE →＝λDB →，ME →＝MD →＋λDB →＝(1－λ，2λ，1－λ)，AM →＝(－2，0，0)，设平面AME 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，2λy ＋（1－λ）z ＝0，取y ＝1，得x ＝0，y ＝1，z ＝2λλ－1，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，2λλ－1， 因为cos 〈m ·n 〉＝m ·n |m |·|n |＝55，求得λ＝12，所以E 为BD 的中点.星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查利用向量知识求椭圆方程及直线与椭圆相交情况下的三角形、斜率、点到直线的距离等知识的综合应用) (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C上的一点，满足OE →＝OF 1→＋22OB →，且△EF 1F 2的周长为2(2＋1). (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围.解 (1)由已知F 1(－c ，0)，设B (0，b )，即OF 1→＝(－c ，0)，OB →＝(0，b )，∴OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，即E ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，∴c 2a 2＋12b 2b 2＝1，得c a ＝22，①又△EF 1F 2的周长为2(2＋1)，∴2a ＋2c ＝2＋22，② 又①②得c ＝1，a ＝2，∴b ＝1，∴所求椭圆C 的方程为 x 22＋y 2＝1.(2)设点M (m ，0)，(0＜m ＜1)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点为N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k 1＋2k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝－k 1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.法一 ∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，∴MN ⊥PQ ，即k 2m （1＋2k 2）－2k 2＝－1，∴m ＝k 21＋2k2＝12＋1k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 设点M 到直线l ：kx －y －k ＝0距离为d ，则d 2＝k 2（m －1）2k 2＋1＝k 2（k 2＋1）（1＋2k 2）2＜14（k 2＋k 2＋1）2（1＋2k 2）2＝14，∴d ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，即点M 到直线距离的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12.法二 ∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形， ∴(MP →＋MQ →)·PQ→＝0， ∵MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0， 又y 2＋y 1＝k (x 2＋x 1－2)，y 2－y 1＝k (x 2－x 1)， ∴(x 2＋x 1－2m )＋k 2(x 1＋x 2－2)＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2＝0，∴m ＝k 21＋2k 2.以下同解法一.星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数知识(命题意图：考查含参数的函数单调性的求解以及不等式恒成立条件下的参数范围的求取.考查考生的分类讨论思想以及转化与化归思想的应用)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ＜－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x . 当a ≥0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a .即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )＞0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.(2)法一 不妨设x 1≤x 2，而a ＜－1，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，恒有 |f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|⇔f (x 1)－f (x 2)≥ 4(x 2－x 1)⇔f (x 1)＋4x 1≥f (x 2)＋4x 2.令g (x )＝f (x )＋4x ，则g ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＋4，则f (x 1)＋4x 1≥f (x 2)＋4x 2等价于g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 即g ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＋4≤0，。