x(t) eAt x(0) A1 (eAt I )BK
（3）斜坡 u(t) K t 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)
x(t) eAt x(0) [A2 (eAt I ) A1t]BK
注意：线性系统的输出输入特性。
返回
四.线性时变系统状态方程的解
，则


(t)

e At

et
cost sin t
sin t cos t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 0 0
[举例1]： 若
A


0 0

0
1 0 0
0 3 0
0

0

4
e te 1t
1t
0
0
则
e At


0
0
e 1t
0
其中:
1 1 0 0
0
初始状态引起的解： x(t) (t)x(0)
输入作用引起的解：
t
x(t) (t )Bu( )d
0
由输出方程可以求出系统的输出解。
Laplae变换求解
状态方程两边同时求拉氏变换得：
X (s) (sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)
x(t) L1[(sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)] L1[(sI A)1 x(0)] L1[(sI A)1 BU (s)]
2!
i!
返回
2. 齐次方程解的物理意义
由初始条件引起的运动规律为齐次方程的
解 x(t) eAt x(0) 确定的，状态向量在任意时
刻t1的取值可由
x(t ) eAt1 x(0) 1
获得。并可以
在以x（t）向量为坐标系的n维状态空间里绘
制系统状态随时间运动的轨迹，称为状态轨迹。
返回
3. 状态转移矩阵的引出 系统由初始条件引起的运动的规律及特性主
y[kT] Cx(kT) Du (kT)
[例8]：P89 例2-12。
例题
（3） 近似离散化
连续系统状态方程：
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
当T足够小时，有
x(t) x[(k 1)T ] x(kT ) T
代入连续系统状态方程中得：
x(t) x[(k 1)T ] x(kT) T
(4) (t t ) (t )(t )
1
2
1
2
(5) 1 (t) (t) 状态转移矩阵的逆为时间的逆转。
(6)
(t t )(t t ) (t t )
2
1
1
0
2
0
(7) (t)k (kt)
e e e (8) 若 A B B A ，则有 ( AB)t
e4t
返回
3.一般状态转移矩阵的求法
(1) 利用定义计算
eAt (I At 1 A2t 2 1 Aiti )
2!
i!
(2) 利用Laplace变换计算 eAt L1 (sI A)1
推导
(3) 化A阵为对角型或约旦标准型计算 （利用状态转移矩阵的性质计算）
系统的状态与输出的形式取决与系统结构 初始条件和输入信号的形式，所以在系统为 典型输入信号作用时的状态解和输出解的形 式可以依据上述通式导出。
返回
2． 典型输入下非齐次方程的解
（1） 脉冲 u(t) K (t) 输入下的解为：
x(t) eAt x(0) eAt BK
（2） 阶跃 u(t) K 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)

1k
0
0
2 k
0
0

0 0 3

0
0
3k

G为约旦型
(k) Gk


0
1 k k



0
kk 1
k

G可化对角型（变换阵为P）
(k)

Gk

k
P
1
0
0
k 2
0 0
G可化约旦型（变换阵为P）
(k)
nn nn
nn nn
At Bt
注：上述性质由定义导出。 p59
返回
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Aiti )x(0) eAt x(0)
2!
i!
2. 几个典型形式的状态转移矩阵
（1）若 1
为对角阵，则
e 1t

A
2



得系统状态的迭代计算式为：x(k ) Gk x(0) Gk j1Hu ( j) j0 注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k) Hu(k) zx(z) zx(0) Gx(z) Hu(z) (zI G)x(z) zx(0) Hu(z) x(z) [(zI G)1 z]x(0) (zI G)1 Hu(z) x(k) Z 1[(zI G)1 z]x(0) Z 1[(zI G)1 Hu(z)]
要取决与eAt，eAt是由系统矩阵A唯一确定的。系
统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大小
形式有关与系统的结构及eAt的形式也密切相关，
定义 (t) [eAt ] 为系统状态转移矩阵。显然， nn
状态空间表达式的求解关键在于求取系统的状态 转移矩阵。 x(t) Ax(t) x(t) eAt x(0)

n

(t) eAt

e2t


e
n
t

（2）若 T-1AT=
1



2


为对角阵，则


n

e 1t (t) eAt T
e2t



T 1
e
nt

（3）A=


求特征值和特征向量
由变换阵P化A为对角阵或约旦标准型
求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵
求原矩阵A的状态转移矩阵。
返回
三.线性定常非齐次状态方程的解
1、非齐次方程解的通式
直接求解
Laplace变换求解
2、典型输入下非齐次方程解 脉冲输入 阶跃输入 斜坡输入
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请参考书上内容自 学，本课程对此不做要 求。返回主页
五.离散系统状态方程的解
1、差分方程组的求解方法
迭代法 Z变换法
2、引入状态转移矩阵，简化离散 系统状态方程的求解
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1. 差分方程组的求解方法（1）
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
（1） 迭代法
k 0, x(1) Gx(0) Hu(0) k 1, x(2) Gx(1) Hu(1)
3. 线性定常系统状态方程的离散化方法
(1) 化连续状态方程为离散状态方程
连续系统状态方程： x(t) Ax(t) Bu(t)
理论推导可得：取
G(T ) e AT ,
T
H (T ) e At Bdt
为采样周期，
0
时，T
则离散化以后的状态空间表达式为：
x[(k 1)T ] G(T )x(kT) H (T )u(kT)

Gk

k
P 0
0
0

P
1
3
k

kk k
1

P
1
（3）状态转移矩阵的性质
(k 1) Gk1 (k)G
(0) G0 I
返回
六. 连续系统的离散化
1. 连续系统离散化的意义 意义 2. 连续系统离散化的假设条件
(1) 离散化按等采样周期处理； (2) 采样脉冲为理想脉冲信号； (3) 输入向量u（t）只在采样点变化，两相邻采样点 之间的输入由零阶保持器保持不变； (4) 采样周期的选择满足香农定理。
G2 x(0) GHu(0) Hu(1) k k 1, x(k) Gx(k 1) Hu(k 1)
Gk x(0) Gk1Hu(0) GHu(k 2) Hu(k 1)
k 1
Gk x(0) Gk j1Hu( j) j0
k 1
返回
二. 状态转移矩阵
(t) [eAt ] nn
1、状态转移矩阵的性质 2、几个典型形式的状态转移矩阵 3、 一般状态转移矩阵的求法
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1. 状态转移矩阵的性质
(1) (0) I
(2) (t) A(t) AeAt
(t) [eAt ] nn
(3) (0) A(0) A
x[(k 1)T ] G(T )x(kT ) H (T )u(kT )
y[kT ] Cx(kT ) Du(kT )
（注：近似计算方法的采样周期越小系统近似的精度越高）
[例11]：P92 例2-14（2）。
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4、线性时变系统状态方程的离散化
（自学）
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单元练习2
1. 设系统状态空间表达式为 x(t) Ax(t) 。Bu(t) y(t) Cx(t)
0
0

0
1 0 0
0 1 0
0 0

为约旦阵，则
1