x2
x ( 0)
x ( t1 )
x ( t2 )
t
t2
0
x1
t1
( t1 0)
( t2 t1 )
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
自由运动也即零输入响应的属性：
1、几何表征 为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成 的一条轨迹； 2、运动属性 状态随着时间演化轨迹，属于由偏离系统平衡状态的初始 状态引起的自由运动；（典型例子：人造卫星在末级火箭脱 落后的运动轨迹属于以脱落时刻运动状态为初始状态的自由 运动。）
而 b0 x(0)
则解为 x(t ) (1 at
因为
1 22 1 a t a k t k ) x(0) e at x(0) 2! k!
1 22 1 a t at 1 at
模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程 （1）的解为 （5） x b0 b1t b2t 2 b3t 3 bk t k 将（5）式代入（1）式
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A 则有 0 1 0 1

t e Φ t 0
te t et
t 2 t e 2 te t

t n 1 t e n 1! t n2 t e n 2 ! t te et
0
矩阵指数函数
e A ( t t 0 )
又称为状态转移矩阵，记作 (t t0 )
x (t ) 是由初始状态 x (t0 ) 激励的。因此，这 由于系统没有输入向量， x (t ) 的形态由 e A(t t0 ) 决定，即是由矩阵A 时的运动称为自由运动。
唯一决定的。
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
u0
( A, B)
x
Ax , 齐次状态方程的解： x
x
x( t ) |t 0 x(0)
2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称 为强迫运动。
u
( A, B)
非齐次状态方程的解： x Ax Bu ,
x( t ) |t t0 x( t0 )
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
（2）当A具有n重特征根 i ：约当标准型 约 当 矩 阵 A的 矩 阵 指 数 函 数
it e At A t 1 e Te T T 0 0 teit 1 t n 1e it (n 1)! 1 T teit i t 0 e
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 微分性和交换性 二、状态转移矩阵的基本性质 1） 2）
d At e A e At e At A dt
e A0 I
即
即
(t ) A (t ) (t ) A
(0) I
不发生时间推移下的不变性
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
b1 2b2t 3b3t 2 kbk t k 1
A(b0 b1t b2t 2 bk t k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0 1 1 2 b2 Ab1 A b0 2 2! 1 1 k bk Abk A b0 k k!
2
（3）
将（3）式代入（2）式
b1 2b2t 3b3t k bk t
2
k 1

a(b0 b1t b2t 2 bk t k )
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0 1 1 2 b2 ab1 a b0 2 2! 1 1 k bk abk a b0 k k!
其中： T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。 求矩阵指数函数的步骤： 此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变 换阵T。
说明的是：对于所有重特征值 i ，构造约当块，并和非重特征 值一起构成约当矩阵,根据状态转移矩阵的性质，求得 e At 。
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
2、齐次状态方程：
Ax x
x ( t ) e A( t t0 ) x ( t0 ) , t t0
满足初始状态 x ( t ) |t t x ( t0 ) 的解是： 0
满足初始状态 x ( t ) |t 0 x (0) 的解是：
e Te
At
T 1 ATt
T
1
对A进行非奇异线性变换，得到：
A T
1
AT
联立上两式，得到：
e Te T
At At
1
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 （1）当A的特征值 1 , 2 , , n 为两两相异时：对角线标准型
e 1t 0 1 e At Te A t T 1 T T n t 0 e
3、待定系数法：将e At 化为A的有限项多项式来求解：
（1）凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理： 设n×n维矩阵A的特征方程为：
f ( ) | I A | n an1n1 a1 a0 0
则矩阵A满足其自身的特征方程，即：
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
（4）设A为 约当阵，即 则有 sin t t cos t At e (t ) e sin t cos t
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
四、状态转移矩阵的计算
直接求解法：根据定义 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 拉氏反变换法 待定系数法： 凯莱－哈密顿定理
e2t
0 n t e
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 （2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T AT Λ
-1
e1t Φ t T 0
e2t
0 -1 T n t e
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
1、根据状态转移矩阵的定义求解：
e
At
I At
A 2!
2
t
2
A k!
k
t
k

k 0
Ak k!
tk
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。 求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
2、标准型法求解： 思路：根据状态转移矩阵性质：
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1）先求得A阵的特征值 i 。 2）求对应于 i 的特征向量 p i ，并得到T阵及T的逆阵。
3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
即：A det(I A) 0 i (i I A)pi 0 pi T
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
3、形态 自由运动轨迹的形态，由且仅由系统的矩阵指数函数唯一 决定。不同的系统矩阵，导致不同形态的矩阵指数函数，从 而导致不同形态的轨迹。这表明，矩阵指数函数即系统矩阵 包含了自由运动形态的全部信息。
4、趋向平衡状态x=0属性 自由运动轨迹最终趋向于系统平衡状态，当且仅当矩阵指 数函数最终趋向于0；（渐近稳定）
而 b0 x (0)
则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为 1 2 2 1 k k x (t ) (1 At A t A t ) x (0) 2! k! 记作 1 2 2 1 k k At e 1 At A t A t 2! k! 则 x (t ) e At x (0)
（6）
（7）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
A ( t t 0 ) x (t0 ) 则 x (t ) e
如果 t0 0
（8）
将（8）式代入（1）式验证
和
d (t ) x (t ) A e A(t t0 ) x (t0 ) Ax(t ) x dt x (t ) t t e A( t0 t0 ) x (t0 ) x (t0 )
3）可逆性 即 4）传递性 即 5）当且仅当
e
At 1
e At
(t )1 1 (t ) (t )
(t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 ) 分解性
e
又称组合性 A ( t 2 t1 ) A( t1 t0 )
e
e
A ( t 2 t 0 )
一、状态转移矩阵
Ax 已知：线性定常系统的齐次状态方程：x
At x ( t ) | x ( 0 ) x ( t ) e x ( 0) t 0 满足初始状态 的解是：
x ( t ) e A( t t ) x ( t0 ) 满足初始状态 x( t ) |t t x( t0 ) 的解是：
0
0
At e ( t ) 令： A( t t0 ) ( t t0 ) e
x ( t ) ( t ) x (0) 则有： x ( t ) ( t t ) x ( t ) 0 0
线性定常系统的状态转移矩阵
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件： 1）状态转移矩阵初始条件： ( t0 t0 ) I ( t t ) A ( t t ) 2）状态转移矩阵满足状态方程本身： 0 0 说明 2 ：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。 说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断 作坐标变换，不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。