第一章 导热理论基础
§1-1 基本概念及傅里叶定律 §1-2 导热系数 §1-3 导热微分方程式 §1-4 导热过程的单值性条件
§1-1 基本概念及傅里叶定律
一、基本概念 1.温度场（Temperature field）
(1)定义： 物质系统内各个点上温度的集合称为温度场，它 是时间和空间坐标的函数 ，其函数表达为:
r 2 r r r 2 2 z 2 c
对于球坐标系 ：
t
a[
1 r2
(r2 r
t r
)
r
2
1 sin
(sin
t
)
r
2
1 sin
2
2t
2
]
qv
c
§2-4 导热过程的单值性条件
导热问题完整数学描述： 导热微分方程 + 单值性条件
一.单值性条件 1.定义:
确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物 理、初始、边界
直角坐标系:
0
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
4.热流密度矢量（热流矢量Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密 度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度
q
q
q q cos
二、傅里叶定律
1.数学表达式：
t+Δt t t-Δt
§2-2 导热系数（ Thermal conductivity ）
一、导热系数的定义 :
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内 单位面积的热量。
q / gradt w/(m·K)
二、导热系数的性质:
（1）导热系数是物性参数：即它与物质结构和状态密切相 关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密 度等，与物质几何形状无关。
(c) 等温线图上,每两条等温线的温度间隔相等时,等温线 的疏密可以直观的反应热流密度的大小
3.温度梯度（Temperature gradient）
(1)定义： 沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极
限为该点的温度梯度，记为gradt。
温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。 (2)计算式：
dQy
dQydy
q y y
dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
dQz
dQzdz
qz z
dxdydzd
[导入与导出净热量]:
dQd
( qx x
q y y
qz z
)dxdydzd
傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
qz
t z
Qd
[ (
x
t ) x
y
(
t ) y
z
(
(2)a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦
获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散
(3)热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度
趋向于均匀一致的能力，所以a反应导热过程动态特性，研
究不稳态导热重要物理量
二、其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系： t a( 2t 1 t 1 2t 2t ) qv
试说明它的导热系数 是随温度增加而增加,还是随
温度增加而减小?
解:
由傅里叶定律:
q
dt dx
const
t
由图可知,温度t是x的函数, 是 温度的函数, 因此, 也是x的函数
q x dt x const
dx
dt x 随x增加而减小,因而 随x增加而增大
x
dx
随着x增加,温度t减小, 因此, 随着温度t的增加, 将 会减小
d 时间内、沿 x 轴方向、 经 x 表面导入的热量：
dQx qxdydzd
d 时间内、沿 x 轴方向、 经 x+dx 表面导出的热量：
dQxdx qxdxdydzd
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQx
dQxdx
qx x
dxdydzd
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
一维稳态温度场:
t f (x)
2.等温面与等温线：
(1)定义: 等温面: 温度场中温度相同点的集合称为等温面。
等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得 到的一个等温线簇
(2)特点：
(a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
(b) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中止，它们或 者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体 的边界上
附: 当λ<0.2 W/(m·K)时，这种材料称为保温材料。高效 能的保温材料多为蜂窝状多孔结构。
1、气体的导热系数
（1）范围： 气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m C) ;
20 C : 空气 0.026 W (m C)
（2）导热机理： 由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
)＋qv
、c 、 为常数
t
2t a(
2t
2t ) qv
a2t qv
x2 y 2 z 2 c
c
稳态温度场
2t 2t 2t qv 0
x2 y 2 z 2
无内热源
2t 2t 2t 0
x2 y2 z2
2为拉普拉斯算子
a c 热扩散系数，单位为 m 2 s
7.关于热扩散率 :
(1)热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与 沿途物质储热能力（ c ）之间的关系.
t )]dxdydzd
z
（2） d时间微元体内热源的发热量
Qv qvdxdydzd
（3）微元体在d时间内焓
的增加量
c t dxdydzd
Qd Qv＝
6.导热微分方程：
c t
(
x
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z ) qv
c t
( 2t
x 2
2t y 2
2t z 2
t f (x, y, z, )
t—温度; x,y,z—空间坐标; —时间坐标
(2)分类： 稳态温度场:
t 0
稳态导热
(Steady-state conduction）
非稳态温度场:
t 0
非稳态导热
（Unsteady-state conduction）
三维稳态温度场： t f (x, y, z)
20 C : 水 0.6 W (m C)
（2）导热机理：
液体的导热：主要依靠晶格的振动 晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点 阵，即所谓晶格。
（3）压力和温度对气体导热系数的影响：
压力对气体导热系数的影响： 液体的热导率随压力p的升高而增大，即
p
温度对气体导热系数的影响： T
合金的导热依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T
温度升高、晶格振动加强、导热增强
(3) 非金属的热导率：
非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小 建筑隔热保温材料： 0.025~3 W (m C)
T
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
境之间的关系。
（Boundary conditions）边界条件常见的有三类:
(a) 第一类边界条件:
t
该条件是给定系统边界上的温度分
布，它可以是时间和空间的函数，
也可以为给定不变的常数值
tw1
t x0 tw1
t x
tw2
tw2
o
x
(b) 第二类边界条件: 该条件是给定系统边界上的温度梯 度，即相当于给定边界上的热流密 度，它可以是时间和空间的函数， 也可以为给定不变的常数值
tf
第三类边界条件:
t n s
h
t s tf
h
在非稳态导热中, h及tf均可为时间的函数
s
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
肋片的第二类第三类边界条件
qw
t x
x0
qw
o
h x
如果端部作绝热考虑:
t 0 x xl
tf
如果端部不作绝热考虑:
t
x xl
h
t x=l tf
例: 如图所示,一维无内热源,平壁稳态导热的温度场.
（2） 它反映了物质微观粒子传递热量的特性,其数值表征 物质导热能力的大小.
三、不同物质的导热系数:
不同物质的导热性能不同：
金属 非金属
固体 液体 气体
273K时：
纯铜 387 w /(m • K ) 大理石 2.78w /(m • K )
冰 2.22w /(m • K ) 水 0.551w /(m • K ) 蒸汽 0.0183 w /(m • K )
注意：水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变 化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样。
3、固体的热导率
(1) 金属的热导率：
金属 12~418 W (m C)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动 主要依靠前者,金属导热与导电机理一致；良导电体为良导 热体：
银 铜 金 铝
、湿度
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）
四、影响导热系数的因素: 1.温度： 一般把导热系数仅仅
视为温度的函数，而且在一定温度 范围还可以用一种线性关系来描述， 即
0 (1 bT )