第一章导热理论基础
第一节基本概念及傅里叶定律
一、基本概念
1. 温度场
温度场是指某一时刻，物体的温度在空间上的分布。
一般地说，它是时间和空间的函数，对直角坐标系即
()
=,,,τ(1-1)
t f x y z
式中t-温度；
x y z
,,-直角坐标系的空间坐标；
τ-时间。
2. 等温面与等温线
同一时刻，温度场中所有温度相同的点连接所构成的面叫做等温面。
不同的等温面与同一平面相交，则在此平面上构成一簇曲线，称为等温线。
图-1-1房屋墙角内的温度场
图1-2 温度梯度
3. 温度梯度
grad t
t n n
∂=
∂ （1-3） 在直角坐标系中，温度梯度可表示为
grad k z
t j y t i x t t ∂∂+∂∂+∂∂=
（1-4） 在圆柱坐标系中，参看图1-3， 温度梯度可表示为
grad r z 1t t t t e e e r r z
φφ∂∂∂=
++∂∂∂ （1-5） 在圆球坐标系中，参看图1-3，温度梯度可表示为
grad t =
r θ11sin t t t e e e r r r θϕθ
φ∂∂∂++∂∂∂ （1-6）
图1-3 圆柱和圆球坐标系
图1-3 圆柱和圆球坐标系
4. 热流矢量
热流矢量q 在直角坐标系三个坐标轴上的分量为x q 、y q 、z q 。
而且
x q q =i +y q j +z q k (1-7)
热流矢量q 在圆柱坐标系三个坐标轴上的分量为r q 、q φ、z q ，
r r z
z q q e q e q e φφ=++
(1-8)
热流矢量q 在圆球坐标系三个坐标轴上的分量为r q 、q φ、q θ，
r r θq q e q e q e φφθ=++ (1-9)
二、傅里叶定律
g r a d q λ=-t （W/m 2） (1-10)
x t
q x
λ
∂=-∂ y t
q y λ
∂=-∂ （1-11） z t q z
λ
∂=-∂ r t q r λ∂=-∂ 1t q r λφ
φ∂=-∂ z t q z λ∂=-∂ (1-12) r t q r λ
∂=-∂ 1s i n t q r λθφ
φ∂=-∂ θ1t q r λθ∂=-∂ （1-13) 第二节 热导率
grad q
t
λ=
- （1-14）
图1-4 热流矢量和温度梯度
图1-5 各类物质热导率的范围
273K时部分物质的热导率表1-1
1．气体的热导率
λ=1
3
u lρc
v
（1-16）
图1-6 气体的导热系数
1－水蒸汽；2－二氧化碳；3－空气；4－氩；5－氧；6－氮
图1-7 氢和氦的导热系数
2．液体的热导率
液体热导率的数值约在0.07～0.7W/(m ⋅K)范围内。
液体的导热主要是依靠晶格的振动来实现。
应用这一概念来解释不同液体的实验数据，其中大多数都得到了很好的证实，据此得到的液体的热导率的经验公式为[]2
4
3
p 13
c A
M
ρλ= （1-17）
式中c p ——液体的比定压热容；
ρ——液体的密度；
M ——液体的分子量；
A ——系数，与晶格振动在液体中的传播速度成正比，它与液体的性质无关，但与温度有关。
图1-8 液体的热导率
1-凡士林油；2- 苯；3-丙酮；4-蓖麻油；5-乙醇; 6-甲醇；7-甘油；8-水
3．金属的热导率
图1-9 金属的导热系数
4．非金属材料（介电体）的热导率 5．纳米流体的热导率
第三节 导热微分方程式
图 1-10 微元体的导热
()t f x y z =,,,τ
导入与导出微元体的净热量+微元体内热源的发热量=微元体中热力学能的增量 (1-18)
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
下面分别计算式(1-18)中的Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ 三项。
x x d q Φ=d d d y z τ
经x dx +表面导出的热量为
x+dx x+dx d q Φ=d d d y z τ
x
x+dx x d q q q x x
∂=+
∂ 于是，在d τ时间内，沿x 轴方向导入与导出微元体的净热量为
x
x x +d x d d d d d d q x y z x
ΦΦτ∂-=-
∂ y y y +d y
d d d d d d
q x y z y
ΦΦ
τ∂-=-
∂ z z +d
d d d d d d z
z q x y z z
ΦΦτ∂-=-∂
I=y x z d d d d q q q x y z x y z τ∂⎛⎫
∂∂-++ ⎪∂∂∂⎝⎭
（1）
Ⅰ=τλλλdxdydzd z t z y t y x t x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ （2） 在d τ时间内，微元体中内热源的发热量为
Ⅱ=v q dxdydzd τ （3）
在d τ时间内，微元体中热力学能的增量为
Ⅲ=ρττ
dxdydzd t
c
∂∂ （4） ρv q z t z y t y x t x t c
+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂λλλτ （1-19） c q z t y t x t c t v
ρρλτ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂222222
c
q t a t
v ρτ+∇=∂∂2 （1-20）
t a t
2∇=∂∂τ
（1-21） ∇+
=20t q v
λ
（1-22）
02222222
=∂∂+∂∂+∂∂=∇z t
y t x t t （1-23）
ρv q z t z t r r t r r r t c
+⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂λφλφλτ211 （1-24） 22222111+sin +sin sin v t t t t c
r q r r r r r ρλλλθτθφφθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂∂=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（1-25）
第四节 导热过程的单值性条件
单值性条件一般地说有以下四项： 一、几何条件 二、物理条件 三、时间条件
()0,,t f x y z τ== （1-26）
00const t t τ===
四、边界条件
1. 第一类边界条件是已知任何时刻物体边界面上的温度值，即
w s =t t （1-27）
0=x t =t w 1； b x t ==t w 2
图 1-11 无限大平壁的第一类边界条件
图1-12 肋片的第二、三类边界条件
2. 第二类边界条件
w s q q =
s n t
∂∂-
=q w λ
（1-28）
w
x 0
q t x
λ
=∂-
=
∂
s
0t
n ∂=∂ （1-29） x 0l
t
x =∂=∂ 3. 第三类边界
q h =(s t -t f )
f s s
()t
h t t n λ
∂-=-∂ （1-30）
f x=x=()l l
t h t t x
λ
∂-=-∂
()()44f s s sur s
(273)(273)t
h t t t t n λ
εσ∂-=-++-+∂ ()311- 式中，ε——墙体外表面的发射率；
sur t ——墙体周围外环境的温度1。
4.第四类边界条件或称接触面边界条件
s s t t 21=， s
s
n t n
t ∂∂=∂∂2
2
11
λλ (1-32)。