第九章 从面积到乘法公式第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题列出的四个选项中只有一项是符合题意的）.1.计算232(3)x x ⋅-的结果是（ ）A.56x -B.56xC.62x -D.62x 【解读】根据单项式乘以单项式的法则计算.解：2x 2·（-3x 3）=[2×（-3）] ·（x 2·x 3）=-6x 5.选A. 【点评】该题考察学生对单项式乘法法则的掌握程度.2.已知多项式x 2＋ax ＋b 与x 2－2x －3的乘积中不含x 3与x 2项，则a ，b 的值为（） A.a ＝2，b ＝7 B.a ＝－2，b ＝－3 C.a ＝3，b ＝7D.a ＝3，b ＝4【解读】已知其展开式中不含x n项，可先用多项式乘法法则将其展开，再令含x n项的系数为0，即可求出待定系数的值.解：多项式x 2＋ax ＋b 与x 2－2x －3的乘积中含x 3项的有：-2 x 3、a x 3，所以x 3的系数为-2+a=0，a=2；含x 2的项有：-3 x 2、-2a x 2、b x 2，所以x 2的系数为-3-2a+b=0，得到b=7.选A.【点评】该题考察学生对多项式乘法法则的掌握情况以及待定系数法的运用情况.3．（自编题）若1=x 时，代数式13++bx ax 的值为5，则1-=x 时，代数式13++bx ax 的值等于（）A . 0B.－3C .－4D.－5【解读】由已知条件知a+b+1=5，即a+b=4，当1-=x 时，代数式13++bx ax =-a-b+1=-（a+b ）+1=-4+1=-3.选B. 【点评】该题渗透了整体思想.4.下列各式计算正确的式子有 （ ） ①（２ｘ－６ｙ）２＝４x ２－１２ｘy ＋３６ｙ２②（2x ＋６）（x －６）２＝2x 2－3６ ③（－ｘ－２ｙ）２＝x ２－４ｘy ＋４ｙ２④（ａ＋２ｂ）２＝ａ２+４ａｂ＋４ｂ２A ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个【解读】①、③、④直接使用完全平方公式，①中间项没有2倍，③中间项的符号应该是正，④正确，②要先计算平方，再计算乘法，（2x ＋６）（x －６）２＝（2x +６）（x 2-12x+36）=2x 3-24x 2+72x+6x 2-72x+216=2x 3-18x 2+216.所以正确的只有④一个.选A. 【点评】该题主要考查学生对完全平方公式的掌握情况. 5.（自编题）要使等式22()(）y x M y x +=+-成立，代数式M 应是（ ）A ．2xyB ．4xyC ．—4xyD ． —2xy 【解读】（x-y ）2=x 2-2xy+y 2，（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，显然M=4xy. 【点评】该题实质是完全平方公式的变形.6.一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A.x 3－x ＝x (x 2－1)B.x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2C.x 2y －xy 2＝xy (x －y ) D.x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y )【解读】所谓分解不完整，即分解的结果还可以继续分解，其中的 A. x 3－x ＝x (x 2－1)=x （x+1）（x-1），显然分解不够彻底.故选A.【点评】该题考察了学生对因式分解结果的要求是否整正了解. 7.（原创题）为了应用平方差公式计算()()c b a c b a -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ） A ()[]()[]b c a b c a +--+ B ()[]()[]c b a c b a -++- C()[]()[]a c b a c b +--+ D ()[]()[]c b a c b a -+--【解读】把符号相同的项结合起来看作平方差公式中的a ，符号相反的项结合起来看作公式中的b.显然把每个多项式中的后两项结合，得到[a-（b-c ）][a+（b-c ）].选D. 【点评】该题考察学生对公式的灵活运用程度.8.矩形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建一条矩形道路LMNP 及一条平行四边形道路QSTK ，LM=QS=c ，则花园中可绿化面积为（ ）A.bc-ab+ac+b 2B.a 2+ab+bc-ac C.ab-bc-ac+c 2D.b 2-bc+a 2-ab【解读】可绿化面积为矩形ABCD 的面积减去两条道路的面积再加上两条道路相交重合部分的面积.所以可绿化面积为ab-bc-ac+c 2.选C. 【点评】该题考察了学生的识图能力.9.若0≠x ，且)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小关系是（ ）A 、M>NB 、M=NC 、M<ND 、无法确定【解读】把M 、N 分别展开，M=[（x 2+1）+2x][ （x 2+1）-2x]= （x 2+1）2-（2x ）2=x 4+2x 2+1-4x 2= x 4-2x 2+1=（x 2-1）2；N=[（x 2+1）+x] [（x 2+1）-x]= （x 2+1）2-x 2=x 4+2x 2+1-x 2= x 4-2x 2+1+3x 2=（x 2-1）2+3x 2，因为0≠x ，3x 2＞0，所以M<N.【点评】该题不仅考察学生对多项式相乘（乘法公式）的灵活应用，还考察了学生对因式分解的灵活运用程度，同时还复习运用了完全平方式的非负性.第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共22分）. 10. （自编题） 利用平方差公式直接写出结果：503×497＝； 利用完全平方公式直接写出结果：4982＝.【解读】直接用公式简化计算. 503×497＝（500+3）（500-3）=5002-32=250 000-9=249 991；4982＝（500-2）2=5002-2×500×2+22=250 000-2 000+4=248 004. 解：依次填：249 991；248 004. 【点评】考察乘法公式的实际应用.11.我国北宋时期数学家贾宪在他的著作《开方作法本源》中的“开方作法本源图”如下图⑴所示，通过观察你认为图中a ＝＿＿＿＿＿＿＿；【解读】通过观察发现数据之间的联系.填6. 【点评】该题考察学生的观察、分析能力.12.要使16x 2+1成为一个完全平方式，可以加上一个单项式.【解读】这里要分情况讨论，若把16x 2、1都看作是平方项，则缺少的一项该是±8x ；若只把1看作是平方项，16x 2就是中间项，那么缺少的一项是64x 4；若16x 2只把看作是平方项，缺少的一项是241x ，这不是整式.所以正确答案是±8x 或64x 4.【点评】该题既考察了学生对公式的掌握程度，也考察了学生的分类思想. 13. （自编题） 计算：（x +1）（x -1）（x 2-1）=. 【解读】原式=（x 2-1）（x 2-1）= x 4－2x 2+1.因为学生在学习新课时曾经做过计算：（x -1）（x +1）（x 2+1）知道是连续使用平方差公式，注意该题是先平方差，后完全平方. 【点评】该题考察学生思路的清晰程度，熟不代表好. 14.（原创题）=+==+22,65b aab b a 则，若【解读】利用完全平方公式的变形.a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=52-2×6=13. 15.分解因式2x 2-4xy +2y 2=.【解读】2x 2-4xy +2y 2=2（x 2-2xy +y 2）=2（x-y ）2. 16. （自编题） 分解因式:x （a-b ）2n+y （b-a ）2n+1=_______________________.【解读】先提取公因式，注意：（a-b ）2n =（b-a ）2n，（b-a ）2n+1=-（a-b ）2n+1.原式= x （b-a ）2n+y （b-a ）2n+1=（b-a ）2n[x+ y （b-a ）]=)()(2ay by x a b n-+-.【点评】本题考查了学生对底数互为相反数的幂的转化能力.17.若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.【解读】x 2-y 2-x+y=（x+y ）（x-y ）-（x-y ）=（x-y ）（x+y-1），显然A =x+y －1.18.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是.【解读】注意是要求写用来因式分解的式子a 2+2ab+b 2=（a+b ）2，不要写成整式乘法中的完全平方公式.【点评】该题考察了学生对公式几何意义的理解. 19. （自编题）已知：02,022=-+≠b ab a ab ，那么ba ba +-22的值为_____________.【解读】因式分解a 2+ab-2b 2=（a+2b ）（a-b ）（可以用十字相乘法直接分解，也可以用分组分解a 2+ab-2b 2= a 2-b 2+ab-b 2=（a+b ）（a-b ）+b （a-b ）=（a-b ）（a+b+b ）=（a-b ）（a+2b ））.所以有a-b =0或a+2b =0，那么a=b 或a=-2b.分别就这两种情况代入到要求的代数式中得b a b a +-22的值为31或35.【点评】该题对因式分解的要求比较高，另外注意：如果ab=0，则有a=0或b=0.三．解答题（本大题共7小题，计40分） 20. （原创题）化简.（每小题4分，共8分）(1)-(m-2n)+5(m+4n)-2(-4m-2n)；(2)3(2x+1)(2x-1)-4(3x+2)(3x-2).【解读】该题是整式的乘法，能用公式的尽量使用公式以简化计算过程，有合并同类项的要加以合并，使最后结果最简.解：（1）原式=-m+2n+5m+20n+8m+4n2分=26n+12m ；2分(2)原式=3（4x 2-1）-4（9x 2-4）2分=12x 2-3-36x 2+161分 =13-24x 2.1分【点评】该题考察学生的运算能力.21. （原创题）分解因式. （每小题4分，共8分）(1)m 2n(m-n)2-4mn(n-m)；(2)(x+y)2+64-16(x+y). 【解读】注意因式分解三步骤：一提、二套、三查.解：(1)原式=m 2n(m-n)2+4mn(m-n)=mn(m-n)[m(m-n)+4]3分=mn(m-n)(m 2-mn+4)；1分(2)原式=(x+y-8)2.4分【点评】该题考察学生的因式分解的掌握程度.22. （原创题）2(y-4)(3y+2)+5(-3y+7)(y+1)，其中y=-131.（本题5分） 【解读】先化简再代入求值.解：原式=2（3y 2+2y-12y-8）+5（-3y 2-3y+7y+7）1分=2（3y 2-10y-8）+5（-3y 2+4y+7）1分 =6y 2-20y-16-15y 2+20y+351分 =-9y 2+19.1分 当y=-131时，原式=-9×（-131）2+19=-16+19=3.1分 23.解不等式组：⎩⎨⎧--++-+---.2)5)(5(8)1)(1(,432)52(2x x x x x x x x x （本题5分）【解读】先化简每个不等式，把它们分别转化为一元一次不等式.解：⎩⎨⎧--++-+---)2.(2)5)(5(8)1)(1()1(,432)52(2x x x x x x x x x化简（1），2x 2-5x ＞2x 2-3x-4， 2x 2-5x-2x 2+3x ＞-4， -2 x ＞-4， x ＜2；2分化简（2），x 2-1+8x ＞x 2-25-2， x 2+8x-x 2＞-25-2+1， 8x ＞-26， x ＞-413.2分 所以不等式组的解集为-413＜x ＜2.1分 24.（原创题）已知a ，b 是有理数，试说明a 2+b 2-2a -4b+8的值是正数. （本题5分） 【解读】利用完全平方式的非负性.解：a 2+b 2-2a -4b+8=(a 2-2a +1)+(b 2-4b+4)+3=(a -1)2+(b-2)2+3.3分 ∵(a -1)2≥0，(b-2)2≥0， ∴(a -1)2+(b-2)2+3＞0，1分 ∴原式＞0，即a 2+b 2-2a -4b+8的正数.1分【点评】该题考察学生解决实际问题的能力. 25.（本题6分）某公园计划修建一个形状如图1的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆的直径不变.请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池的周边所需要的材料最多.【解读】比较两中方案各圆形水池的周长之和. 解：图1中两个圆的周长和为2πr ×2=4πr ；2分图2中四个圆的周长和为2πr+2π·21r+2π·31r+2π·61r =2πr （1+21+31+61）=4πr.3分 可见两种方案砌各圆形水池的周边所需要的材料一样多.1分【点评】该题考察学生的识图能力和用所学知识解决实际问题的能力. 26.（本题6分）某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下方案，将价格提高到原来的2.5倍，再作3次降价处理：第一次降价30%，标出“亏本价”；第二次降价30%，标出“破产价”； 第三次降价30%，标出“跳楼价”.三次降价处理销售结果如下表：（1） 跳楼价占原价的百分之多少？（2） 该方案按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪种方案更盈利？ 【解读】根据题意列出相应的代数式，求比值，作比较.解：（1）设原价为x 元，则跳楼价为2.5x ×0.7×0.7×0.7，所以跳楼价占原价的百分比为xx 37.05.2⨯=85.75%；2分（2）原价出售：销售金额为100x 元，1分新价出售：销售金额为 2.5x ×0.7×10+2.5x ×0.7×0.7×40+2.5x ×0.7×0.7×0.7×50=103.372x 元.2分因为103.372x ＞100x ，所以新方案更盈利.1分 27. （自编题）探究应用（每小题2分，共8分） （1）计算：（a－2）（a2 + 2a + 4）=（2x－y）（4x2 + 2xy + y2）=（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式（请用含a.b的字母表示）.（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（）A、（a－3）（a2－3a + 9）B、（2m－n）（2m2 + 2mn + n2）C、（4－x）（16 + 4x + x2）D、（m－n）（m2 + 2mn + n2）（4）直接用公式计算：（3x － 2y）（9x2 + 6xy + 4y2）=（2m－3）（4m2+ + 9）= .【解读】计算、观察、分析、归纳得出结论，并用结论解决新的问题.解：（1）a3 – 8；8x3-y3.（2）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；（3）C ；（4）27 x3-8y3；6m；8m3-27.【点评】该题考察学生观察、分析、归纳的能力.对学生的要求比较高.。