2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21iz i i=+-，则z z ⋅=（ ）A.B. 3C. 1D. 5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的概念先求出,z z ，即可得解.． 【详解】22(1)221121(1)(1)2i i i i z i i i i i i i i i +-=+=+=+=-+=-+--+， 则12z i =--，则(12)(12)145z z i i ⋅=-+--=+=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题． 2.设集合{}2|2A x x x =+-<0，{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A. (2,1)-B. (0,1)C. (1,2)D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再利用交集的运算求解．【详解】由题得集合2{|20}(2,1)A x x x =+-<=-，2{|log 1}(0,2)B x x =<=， 则(0,1)AB =，故选：B ．【点睛】本题主要考查不等式的解法和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3.已知数列{}n a 是等比数列，函数256y x x =-+的零点分别是2a ，8a ，则5a =（ ）A. 2B. 2-C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理可知286a a ⋅=，285a a +=，由此利用等比数列的性质求解即可. 【详解】函数256y x x =-+的零点分别是2a ，8a ，∴286a a ⋅=，285a a +=， ∴20a >，80a >，又数列{}n a 是等比数列，∴25286a a a =⋅=，∴5a =.故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.4.已知sin 2a =，23log 5b =，0.53c =，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的单调性，比较大小即可. 【详解】22ππ<<，∴0sin 21<<，即01a <<，51>，2013<<， ∴23log 50<，即0b <，31>，0.50>，∴0.531>，即1c >， ∴b a c <<.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数单调性比较大小，属于基础题.5.已知圆C ：2240x y x a +++=上存在两点关于直线:=2l y kx +对称，k =（ ） A. 1 B. 1-C. 0D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，()C l ∴∈-2,0，220k ∴-+=，得1k =.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.6.三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（ ） A. 动力学方程的知识 B. 概率与统计的知识 C. 气象预报模型的知识D. 迷信求助于神灵【答案】B 【解析】 【分析】应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的知识. 【详解】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾， 属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识. 并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识. 故选：B.【点睛】本题考查了天气预报中的概率解释，属于基础题. 7.函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞.1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.8.给出下列四个结论：①若()f x 在R 上是奇函数，则()2f x 在R 上也是奇函数 ②若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数③“若3πθ=，则sin θ=的否命题是“若3πθ≠，则sin θ≠.”④若p ：20x -=；q ：2x -=p 是q 的充分不必要条件其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】对于①，利用函数奇偶性的定义可判断；对于②，举反例，例如()tan f x x =不是正弦函数，但是周期函数；对于③，由否命题的定义判断即可；对于④，根据充分条件和必要条件的定义加以判定即可. 【详解】对于①，若()f x 在R 上是奇函数，则x R ∀∈，()()f x f x -=-， 则()()()222f x f x f x -=-=-⎡⎤⎣⎦， 故()2f x 在R 上也是奇函数， 故①正确；对于②，例如()tan f x x =不是正弦函数，但是周期函数， 故②错误；对于③，由否命题的定义可知，对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别为另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题，如果把其中一个称为原命题，则另一个就叫做它的否命题，而3πθ=的否定为3πθ≠，sin θ=sin θ≠， 故③正确；对于④，022x x ⇒-==-，即p q ⇒，即p 是q 的充分条件，而220x x -=⇒-=或21x -=，因此q 推不出p ，即p 是q 的不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件， 故④正确. 故选：C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性、否命题的定义以及充分条件与必要条件，考查了推理能力，属于基础题.9.自新型冠状病毒疫情爆发以来，人们时刻关注疫情，特别是治愈率，治愈率=累计治愈人数／累计确诊人数，治愈率的高低是“战役”的重要数据，由于确诊和治愈人数在不断变化，那么人们就非常关心第n 天的治愈率，以此与之前的治愈率比较，来推断在这次“战役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段计算治愈率的程序框图，请同学们选出正确的选项，分别填入①②两处，完成程序框图.（ ）i g ：第i 天新增确诊人数；i y ：第i 天新增治愈人数；i l ：第i 天治愈率A. ii ig l y =，1i i =+ B. ii iy l g =，1i i =+C. i Sl Z=，1i i =+ D. i Zl S=，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】由治愈率的公式，结合程序框图可知Z 和S 的意义，可得①处正确选项，即可得解. 【详解】∵治愈率=累计治愈人数／累计确诊人数，由程序框图可知，Z 表示累计治愈人数，S 表示累计确诊人数， ∴i Z l S =，即①处填i Z l S=. 故选：D.【点睛】本题考查了补全程序框图，属于基础题.10.P 为椭圆22110091x y +=上的一个动点，,M N 分别为圆22:(3)1C x y -+=与圆222:(3)(05)D x y r r ++=<<上的动点，若||||PM PN +的最小值为17，则r =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据||||PM PN +的最小值，得到关于r 的方程，进而求得答案.【详解】因为(3,0)C ，(3,0)D -恰好为椭圆的两个焦点， 因为||||1,||||PM PC PN PD r ≥-≥-，所以||||||||121PM PN PC PD r a r +≥+--=--. 因为2100a =，得10a =， 所以20117r --=，则2r .故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（ ）A. 11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得a ；再根据()f x 在[0,]π上的值域确定3x πω+取值范围，解得结果.【详解】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=1sin cos 22a x x ωω++max()f x ==02a a >∴=，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤>，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 12.已知函数321()1(1)3f x x ax ax a =-++≤在1212,()t t t t ≠处的导数相等，则不等式12(+)0f t t m +≥恒成立时，实数m 的取值范围是（ ）A. [)1-+∞，B. (]1-∞-，C. (]1-∞， D. (43⎤-∞⎥⎦，【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，根据条件解得12+=2t t a ，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得2'()2(1)f x x ax a a =-+≤，由已知得12,t t 为220x ax a -+=两个不等实根，所以12+=2t t a ，12(+)0f t t m +≥恒成立，(2),(1)m f a a ∴-≤≤恒成立.令324()(2)21,(1)3g a f a a a a ==-++≤， 则2'()444(1)g a a a a a =-+=--，当(,0),'()0a g a ∈-∞<，当(0,1),'()0;a g a ∈>()(,0)g a ∴-∞在上单调递减，在(0,1)上单调递增.min ()(0)1,1, 1.g a g m m ∴==∴-≤∴≥-故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,a b 均为单位向量，若23a b -=，则a 与b 的夹角为________. 【答案】3π 【解析】 【分析】由已知模平方后可求得两向量的数量积，然后根据数量积的定义可求得夹角． 【详解】由题意22222(2)441443a ba b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅+=，12a b ⋅=，∴1cos ,2a b a b a b ⋅=<>=，1cos ,2a b <>=，,3a b π<>=．故答案为：3π． 【点睛】本题考查平面向量的数量积与模的关系，考查求向量夹角，掌握数量积的定义是解题基础． 14.数列{}n a 中，11a =，且131n n a a n +=++，则通项公式n a =__________. 【答案】()2132n n - 【解析】 【分析】把题干中的递推关系式进行转换，构造出新数列2322n n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭，即可求解. 【详解】131n n a a n +=++，整理得，()22131312222n n n n a n a n ++-++=-+， ∴数列2322n n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭为常数列，又11a =，则131022a -+=， ∴2322n n a n =-. 故答案为：()2132n n -.【点睛】本题考查了由递推关系求通项公式，考查了构造法求数列通项，属于基础题. 15.设曲线ln y x x =在点(,)e e 处的切线与直线10ax y ++=垂直，则————．【答案】12【解析】试题解析：()ln ln 1y x x x '='=+，曲线在点（e ，e ）处的切线斜率为()2f e '=，∴2×（－a ）＝－1，解得12a =． 考点：考查了利用导数求曲线的切线的斜率．点评：解本题的关键是正确求导，切点横坐标的导数值等于切线的斜率，两条互相垂直的直线的斜率乘积等于－1．16.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，P 是该正方体侧面11DCC D 上的点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是__________. 【答案】123 【解析】 【分析】由题意易知Rt ADPRt MCP ∆∆，由此可得2PD PC =，在平面11DCC D 上，作PO CD ⊥，垂足为O ，设DO x =，PO h =，求出PO 的最大值，说明PO ⊥底面BCD ，即可得三棱锥P BCD -的体积最大值. 【详解】如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，，则AD ⊥平面11DCC D ，BC ⊥平面11DCC D ，又DP ，PC 在平面11DCC D 上，所以AD DP ⊥，BC CP ⊥，又APD MPC ∠=∠，所以Rt ADPRt MCP ∆∆， 所以2PD AD PC MC==， 即2PD PC =，作PO CD ⊥，垂足为O ，设DO x =，PO h =，()222226x h x h +=-+化简整理得()22816h x =--+，06x ≤≤，则6x =时，2max 12h =，max 23h =在正方形11DCC D 中，因为PO CD ⊥，所以1//PO CC ，又正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以三棱锥P BCD -的体积最大值为11662312332⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：123【点睛】本题考查了空间几何体的最值问题，考查了线面垂直的性质定理，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A +=.（1）求角A ；（2）若a =，且ABC面积为sin sin B C +的值. 【答案】（1）3A π=（2）26【解析】【分析】 （1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和的正弦定理及诱导公式进行化简，再根据sin 0C >，求出tan A 的值，即可确定角A 的大小；（2）利用余弦定理及三角形的面积公式，求出b 和c ，结合正弦定理即可得sin sin B C +的值.【详解】（1cos sin C c A +=， cossin sin A C C A B +=， 又A B C π++=，∴()B A C π=-+，则()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， ()cos sin sin A C C A A C +=+， 即sin sin sin A C A C =，∵0C π<<，则sin 0C >，∴tan A =又∵0A π<<，∴3A π=.（2）∵a =，∴由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即2213b c bc =+-，∵ABC 面积为∴12bc .3332=，即12bc =， ∴221312b c bc bc ⎧=+-⎨=⎩，解得43b c =⎧⎨=⎩或34b c =⎧⎨=⎩， 由正弦定理得，()sin 3739sin sin sin sin 7213b c A B C A A b c a a a +=+=+=⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积计算公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.18.某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜好，白色代表不喜好）.（1）写出22⨯列联表；（2）能否有99%的把握认为喜好这项体育运动与性别有关；（3）在这次调查中从喜好这项体育活动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k > 0.250.010 0.005 0.001 0k5.0246.6357.879 10.83【答案】（1）见解析（2）没有99%把握认为喜好这项体育运动与性别有关（3）23【解析】【分析】（1）观察二维条形图得到所需数据，由此写出22⨯列联表即可；（2）根据列联表中的数据计算2K ，对照数表即可得出结论； （3）通过列举法分别写出任选两人的情况和选一名男生和一名女生的情况，再由古典概型的概率公式计算即可.【详解】（1）观察二维条形图可得，男生总共45人，其中喜好这项运动的有15人，不喜好的有30人；女生总共45人，其中喜好这项运动的有5人，不喜好的有40人.由此写出列联表如下：列联表：单位；人（2）()22901540305 6.429 6.63545452070K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. 所以没有99%把握认为喜好这项体育运动与性别有关.（3）设喜好这项体育活动的一名男生和两名女生记为A ，B ，C .任选两人的情况为：(),A B ，(),A C ，(),B C ，选一名男生和一名女生的情况为：(),A B ，(),A C ，所以23P =， 即恰是一男一女的概率为23.【点睛】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题. 19.如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，33AB CD ==，2PA PD BC ===，90ABC ∠=︒，且PB PC =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PME ，由线面垂直的性质定理可得PM BC ⊥，由线面垂直的判定定理得PM ⊥平面ABCD ，再由面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD 即可. （2）由P BCD D BCP V V --=，利用等体积法，即可求出点D 到平面PBC 的距离.【详解】（1）解：取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，因为//AB CD ，33AB CD ==，所以四边形ABCD 为梯形，又M 、E 为AD 、BC 的中点，所以ME 为梯形的中位线，所以//ME AB ，又90ABC ∠=︒，所以ME BC ⊥，因为PB PC =，E 为BC 的中点所以PE BC ⊥，又PE ME E =，PE ⊂平面PME ，ME ⊂平面PME ，所以BC ⊥平面PME ，又PM ⊂平面PME ，故PM BC ⊥，因为PA PD =，M 为AD 中点，所以PM AD ⊥，又AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上，所以PM ⊥平面ABCD ，又PM ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）及题意知，PM 为三棱锥P BCD -的高，AD =2ME =，PM =故PE =11222PBC S BC PE =⨯=⨯=△， 而1121122BCD S BC CD =⨯=⨯⨯=△， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，由等体积法知：111113333P BCD D BCP BCD PBC V V S PM S h h --==⨯=⨯=⨯=△△，解得h ，所以点D 到平面PBC 的距离为3. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.20.己知函数()()()ln f x x a x a R =-∈，它的导函数为()f x '.（1）当1a =时，求()f x '的零点；（2）若函数()f x 存在极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）1x =是()f x '的零点；（2）()2,e --+∞ 【解析】【分析】（1）求得1a =时的()f x '，由单调性及()10f '=求得结果.（2）当0a =时，()1ln f x x ='+，易得()f x 存在极小值点，再分当0a >时和当0a <时，令()()g x f x ='，通过研究()g x '的单调性及零点情况，得到()g x 的零点及分布的范围，进而得到()f x 的极值情况，综合可得结果.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()()1ln f x x x =-，()1ln 1f x x x +'=-. 易知()1ln 1f x x x+'=-为()0,+∞上的增函数， 又()1ln1110f '=+-=，所以1x =是()f x '的零点.（2）()ln 1ln x a a f x x x x x+-'-==+， ① 当0a =时，()1ln f x x ='+，令()0f x '>，得1x e >；令()0f x '<，得10x e <<， 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意. 令()1ln a g x x x =-+，则()221a x a g x x x x+=='+. ② 当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增. 又10g ae e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()11110a a a a g e a a e e ⎛⎫=-+=+-> ⎪⎝⎭， 所以()g x 在()0,+∞上恰有一个零点0x ，且当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()0,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，所以0x 是()f x 的极小值点，符合题意.③ 当0a <时，令()0g x '=，得x a =-.当()0,x a ∈-）时，()0g x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0g x '>，所以()()()min 2ln g x g a a =-=+-.若()()2ln 0g a a -=+-≥，即当2a e -≤-时，()()()0f x g x g a =≥-≥'恒成立，即()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值点，不符合题意.若()()2ln 0g a a -=+-<，即当20e a --<<时，()()11ln 101a g a a a -=-+->-， 所以()()10g a g a -⋅-<，即()g x (),a -+∞上恰有一个零点1x ，且当()1,x a x ∈-时，()()0f x g x '=<；当()1x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，所以1x 是()f x 的极小值点，符合题意.综上，可知2a e ->-，即a 的取值范围为()2,e --+∞.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21.设抛物线C :22(0)y px p =>与直线:02p l x my --=交于A 、B 两点. （1）当AB 取得最小值为163时，求p 的值. （2）在（1）的条件下，过点(3,4)P 作两条直线PM 、PN 分别交抛物线C 于M 、N （M 、N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与x 轴平行，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）83p =（2）证明见解析，定值23-. 【解析】【分析】（1）先确定直线l 过抛物线焦点，再根据抛物线定义求AB ，最后根据AB 最小值求p 的值；（2）先确定PM 、PN 的斜率互为相反数，再设直线PM 方程，与抛物线联立解得M 坐标，类似可得N 点坐标，最后利用斜率公式求结果.【详解】（1）由题意知：直线:02p l x my --=过定点(,0)2p ，该点为抛物线焦点. 联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：2220y pmy p --=设1122(,),(,)A x y B x y ，有122y y pm +=，212y y p ⋅=-2121212()22(1)22p p AB x x x x p m y y p p m ∴=+++=++=++=+… 20,0p m >≥，当0m =时，min 2AB p =1623p ∴=，解得83p = （2）证明：由已知可知直线PM 、PN 的斜率存在，且互为相反数设3344(,),(,)M x y N x y ，直线PM 的方程为(3)4y k x =-+.联立2163(3)4y x y k x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去x 整理得：231664480ky y k -+-=. 又4为方程的一个根，所以3644843k y k -=，得3161216433k y k k -==- 同理可得41643y k=-- 3434223434341611612333(8)3()16MN y y y y k x x y y y y --∴===⋅=⨯=--+-- 所以直线MN 的斜率为定值23-.【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程是1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是()sin 363ρθθ=，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为O 、P 两点，OM 与直线l 的交点为Q .（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρα=（2）5【解析】【分析】（1）圆C 的参数方程消去参数，求出圆C 的普通方程，由222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可求出圆C 的极坐标方程；（2）设点P 的极坐标为()11,ρθ，将圆C 的极坐标方程与射线OM 联立，求出P 的极坐标，设Q 点的极坐标为()22,ρθ，联立直线l 的极坐标方程与射线OM 的极坐标方程，求出Q 的极坐标，即可求得线段PQ 的长.【详解】解：（1）由题可得，圆C 的普通方程是()2211x y -+=，即2220x y x +-=，又222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.（2）设点P 的极坐标为()11,ρθ， 则有1112cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得111π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设Q 点的极坐标为()22,ρθ，则有()2222sin π3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得226π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴6,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由于12θθ=， 所以125PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为5.【点睛】本题考查了圆的参数方程和普通方程的互化以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标系中线段长的求法，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.23.已知函数()|21|f x x =-.（1）解不等式：()(1)4f x f x ++≥；（2）设()(1)()22f x f x g x +=+，求()g x 的最小值.【答案】（1）(x ∈-∞，1][1-⋃，)+∞；（2）4.【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解不等式即可;（2）()(1)()()22222f x f x f x g x +=+⋅其最小值．【详解】（1）原不等式等价于|21||21|4x x -++，①12x时，原不等式化为：44x ，得，1x ， ②1122x -<<时，原不等式化为：24，得，x ∈∅， ③12x -时，原不等式化为：44x -，得，1x -， 综上：(x ∈-∞，1][1-⋃，)+∞；（2）()(1)()()2222f x f x f x g x +=+⋅==|(21)22x --4=，当且仅当()(1)f x f x =+，且(21)(21)0x x -+，即0x =时，等号成立，g x的最小值为4.故()【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．。