长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第一次模拟考试数学（文）试题 命题学校：高新一中 审题学校：师大附中注意事项：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟．（2）答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上． （3）选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．（4）非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． （5）考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．复数13z i=+，21z i=-，则复数121z z +的虚部为（ ）A ．2B ．2iC ．32 D ．32i2．已知集合{|(1)(2)0}M x R x x =∈+->和2{|0}N x R x x =∈+<，则集合M 是集合N 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．过点P （1,2）的直线l 平分圆C ：224610x y x y ++++=的周长，则直线l 的斜率为（ ）A ．53 B ．1 C ．85 D ．43 5．如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）A． B ．4 CD．正（主）视图 ABCA 1C 16．角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x=-的准线上，则sin α=（ ）A ．12- B ．12 C．2-D．27．数列{}n a 的前n 项和为nS ，首项为a ，且21()n n n S a a n N +=-+∈．若实数x y ，满足100x y x y x a ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．12C ．5D ．18．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是nA 和nB ，且213nnA nB n +=+，则99a b 等于（ ）A ．2B ．74C ．1912D ．13219．设函数()sin()sin()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕπ=++-><<的最小正周期为π，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在(0,)4π单调递增C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在(0,)4π单调递减10．椭圆2221(1)xy a a+=>上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．(0,2 B．[,1)2 C ．1(0,]2D ．1[,1)2第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）． 11．如图，有一个算法流程图．在集合{|1010}A x R x =∈-≤≤中随机地取一个数值做为x 输入，则输出的y 值落在区间(5,3)-内的概率值为 ．12．某校为了解高一学生寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6至8小时之间的人数为_______． 13．设a ，b ，c 为单位向量，a ，b 的夹角为600， 则（a + b + c ）·c 的最大值为 ． 14．给定集合An ={1,2,3,…,n}(n N +∈)，映射:n nf A A →满足：①当,,n i j A i j∈≠时，()()f i f j ≠；②任取nm A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈ ．则称映射:n nf A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射:33f A A →是一个“优映射”． 表1 表2i 1 2 3 f(i)231（1）已知表2表示的映射:44f A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整．（2）若映射:66f A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有3个，则这样的“优映射”的个数是 ．15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（几何证明选讲选做题）如图，已知R t A B C ∆的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则BD 的长为= ；B ．（不等式选讲选做题）关于x 的不等式2|1||2|1x x a a -+-≤++的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ；C ．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{3cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为i 1 2 3 4 f(i)3:3y x +:5y x -Acos()63πρθ-=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．16．（本小题满分12分） 三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量(,),(,m c a b a n ab c →→=--=+，若m →//n →． （I ）求角B 的大小；（II ）求sin sin A C +的取值范围． 17．（本小题满分12分）如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE//DF ，090DEF ∠=． （Ⅰ）求证：BE//平面ADF ；（Ⅱ）若矩形ABCD 的一个边ABEF=BC 的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为 18．（本小题满分12分） 设点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程为0Ax By C ++=．请写出点P 到直线l 的距离，并加以证明．19．（本小题满分12分）一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml 和700ml 两种型号, 某天的产量如右表(单位:个):按样式进行分层抽样，在该天生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式杯子25个. （I ）求z 的值；（II ）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率． 20．（本小题满分13分） 已知圆C1的方程为22(2)1x y +-=，定直线l 的方程为1y =-．动圆C 与圆C1外切，且与直线l 相切． （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；（II ）斜率为k 的直线l 与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l 的垂线恰好经过点A （0，6），并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为∆POQ （O 为坐标原点）的面积，求型号甲样式乙样式丙样式500ml 2000 z 3000700ml 3000 4500 5000S 的值．21．（本小题满分14分）已知函数f(x)=21x 2－ax + (a －1)ln x ，1a >．(Ⅰ) 若2a >，讨论函数()f x 的单调性； （II ）已知a =1，3()2()g x f x x=+，若数列{an}的前n 项和为()n S g n =，证明：231111(2,)3nn n N a a a ++++<≥∈ ．长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 高2012届第一次模拟考试 数学（文）答案第I 卷（选择题 共50分） 一、选择题：CDCA DBAB DB第II 卷（非选择题 共100分） 二、填空题：11． 0.8 ；12． 30 ；131；14．（1） 2，4，1 ，（2） 10 ；15.A ．165；B ．(1,0)-；C ．6-三、解答题：16．（本小题满分12分）解（I ）由m →//n →知c ab a a bc--=+，即得222b ac ac =+-，据余弦定理知1c o s 2B =，得3B π=——————6分（II ）sin sin sin sin()A C A AB +=++sin sin()3A A π=++13sin sin sin 2222A A A A A=++=+)6A π=+————————9分因为3B π=，所以23A C π+=，得2(0,)3A π∈ ————10分所以5(,)666A πππ+∈，得1s i n ()(,1]62A π+∈，即得s i n s i n A C +的取值范围为]2． ————————12分17．（本小题满分12分）解（Ⅰ）过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM ．因为CE//DF ，所以四边形CEMD 是平行四边形．可得EM = CD 且EM //CD ，于是四边形BEMA 也是平行四边形，所以有BE//AM ，而直线BE 在平面ADF 外，所以BE//平面ADF ． ——————6分（Ⅱ）由EF =EM = AB =FM = 3且030MFE ∠=．由090DEF ∠=可得FD = 4，从而得DE = 2．————8分 因为BC C D ⊥，BC FD ⊥，所以B C ⊥平面CDFE ．所以，13F B D E B D E F D E F V V S B C--∆==⨯． ————10分因为12D EF S DE EF ∆=⨯=，F BDE V -=，所以32B C =．综上，当32B C =时，三棱锥F-BDE的体积为————12分18．（本小题满分12分）解：点P 到直线l的距离公式为d =． ————3分证法1：过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ．若A = 0，则直线l 的方程为Cy B =-，此时点P 到直线l 的距离为0||C y B +00||||||||Ax By C By C C y B B+++==+，可知结论是成立的． ————5分若0A ≠，则直线PH 的斜率为BA ，方程为00()B y y x x A -=-，与直线l 的方程联立可得200()0BAx By x x C A++-+=解得2000002222B x ABy ACAx By C x x AA BA B--++==-++，00022A xB yC y y BA B++=-+————9分 据两点间距离公式得||d ==．————12分证法2：若B = 0，则直线l 的方程为Cx A =-，此时点P 到直线l 的距离为0||||||Ax C Ax By CC d x A+++=--==；若0A =，则直线l 的方程为Cy B =-，此时点P 到直线l 的距离为0||C d y B =--==；若0B ≠，0A ≠，过点P 作y 轴的垂线，交直线l 于点Q ，过点P 作直线l 于y 轴的垂线，交直线l 于点Q ，设直线l 的倾斜角为θ，则||sin d PQ θ=．因为 00000||||||||Q A x B y CB C P Q x x y x A A A++=-=---=，||sin A θ====，所以，d =．综上，d =．证法３：过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ．则直线PH 的一个方向向量对应于直线l 的一个法向量，而直线l 的一个法向量为(,)A B ，又线段PH 的长为d ，所以,)||PHPH dA B PH →→→==或,)PH A B →=-设点H 的坐标为(,)x y ，则00(,)P H x x y y →=--，可得00x x y y =±=±把点H 的坐标代入直线l 的方程得00((0A xB yC ±+±+=整理得000dAx By C ±+++=，解得||Ax By Cd ++=．证法４：过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ．在直线l 上任取一点Q (,)x y ，直线PH 的一个方向向量为(,)v A B →=，据向量知识，向量P Q →在向量v →上的投影的绝对值恰好是线段PH 的长，因此)|||||PQ vd v →→→∙===因为0000()()()x x A y y B A x B y A x B y -+-=+-+，而点(,)x y 满足0A x B y C ++=，所以0000()()Ax By Ax By Ax By C +-+=-++．因此||Ax By Cd ++=．19．（本小题满分12分）解: （I ）设该厂本月生产的乙样式的杯子为n 个,在丙样式的杯子中抽取x 个，由题意得,2550008000x=,所以x=40. -----------2分则100－40－25＝35，所以，,35500025n=n=7000，故z ＝2500 ----------6分 （II ）设所抽样本中有m 个500ml 杯子,因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,所以,550002000m=,解得m=2 -----------9分也就是抽取了2个500ml 杯子,3个700ml 杯子,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2个的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1个500ml 杯子的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2个,至少有1个500ml 杯子的概率为710. -----------12分 20．（本小题满分13分）解（Ⅰ）设动圆圆心C 的坐标为(,)x y ，动圆半径为R ，则1||1CC R ==+，且|1|y R += ————2分可得|1|1y =++．由于圆C1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方，所以有10y +>，2y =+，整理得28x y =，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程． ————5分（II ）如图示，设点P 的坐标为200(,)8x x ，则切线的斜率为04x ，可得直线PQ 的斜率为4x -，所以直线PQ 的方程为20004()8x y x x x -=--．由于该直线经过点A （0,6），所以有20648x -=，得2016x =．因为点P 在第一象限，所以04x =，点P 坐标为（4,2），直线PQ 的方程为60x y +-=． —————9分把直线PQ 的方程与轨迹M 的方程联立得28480x x +-=，解得12x =-或4，可得点Q的坐标为(12,18)-．所以1||||482P Q S O A x x =-= ——————13分21．（本小题满分14分）解(Ⅰ) 可知()f x 的定义域为(0,)+∞．有2/11(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a xxx--+----=-+==————2分因为2a >，所以11a ->．故当11x a <<-时/()0f x <；当01x <<或1x a >-时/()0f x >．综上，函数()f x 在区间(1,1)a -上单调递减，在区间(0,1)和(1,)a -+∞上单调增加. ——————6分（II ）由1a =，知32()2g x x x x =+-，所以322n S n n n =+-．可得 2232, (2)320 , (1)n n n n a n n n ⎧--≥==--⎨=⎩． ——————８分所以11(2)(32)(1)nn a n n =≥+-．因为 11111()(32)(1)3(1)31n n n n n n <=-+--- ——————11分 所以 23111111111[(1)()()]32231n a a a n n +++<-+-++--11111(1)3333n n=-=-< 综上，不等式得证． ——————14分。