【知识点分析】： 一、 球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。

求外接球半径的原理是：在Rt △OAO ’中，OA 2=OO ’2+O ’A 2二、 常见平面几何图形的外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形(正三角形)，五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。

从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长）（2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，r=2c 。

（3）等腰三角形： 结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

由图可得：22)2()(a r h r +-=（4）非特殊三角形：非特殊三角形求解外接圆半径可使用正弦定理2sin sin sin a b c R C===A B 。

rrAD=h ，BD=12a B CO2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内。

外接圆圆心是在圆心到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是球心到几何体各个顶点距离相同的点。

结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，(也即球心落在过底面外心的垂线上，)简单称之为：球心落在底面外心的正上方。

【相似题练习】2．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3【知识点分析】：类型一：直（正）棱柱:上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心O 必位于上下两底面外心连线的中点处，即121'AA OO =，从而R 可求.【相似题练习】1．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧棱AA 1垂直于底面ABC ，且AA 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点分析】：类型二：侧棱垂直底面的三棱锥，法一：补形法：该几何体可由正三棱柱沿平面PBC 切割得来，故可转化为原三棱柱的外接球；法二：先确定底面三角形ABC 的外心O’，从而球心位于O’的正上方，即OO’ ⊥平面ABC ，同时：OP=OA ，故，过O 作OM ⊥PA 于M ，此时M 必为PA 中点，从而四边形OMAO’为矩形，所以PA AM OO 21'==，在直角三角形OO’A 中有：222'OO r R +=.【相似题练习】2．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，若PA ⊥底面ABC 且PA ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．28πC ．24πD ．20π3．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点分析】：类型三：正三棱锥：由底面正三角形边长可得r ，在直角三角形OO’A 中，222'OO r R +=，故只需确定OO’的长度即可，结合图形，OO’=PO’-OP=H-R ，代入222)(R H r R -+=即可求解.【相似题练习】3．正三棱锥P ﹣ABC 侧棱长为，侧棱与底面ABC 所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为 .2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）【知识点分析】：类型四：侧面垂直于底面的三棱锥：设△ABC和△PAB的外心分别为O’,O’’，则PM⊥AB，球心设为O，则OO’ ⊥平面ABC，OO’’⊥平面PAB，从而四边形OO’MO’’是矩形，可得：OO’=O’’M，在Rt△OO’C中用勾股定理求解.【讲透例题】1．在四面体A﹣BCD中，AB＝5，BC＝CD＝3，DB＝2，AC＝4，∠ACD＝60°，则该四面体的外接球的表面积为．解析：如图：取AB的中点O，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD cos60°＝13，在△ABD中，∵AB2＝BD2+AD2，∴∠ADB＝90°，∴OA＝OB＝OD，在△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心，其半径R＝AB＝，∴S球＝4πR2＝4π（）2＝25π．故答案为：25π．【相似题练习】4.在三棱锥P-ABC中，面PAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．1．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．5、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP＝2，AB＝2，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．1．如图，在正四棱锥P﹣AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA＝，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积．1．如图，四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD＝90°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在AD＝2，AB＝4，求三棱锥P﹣ABD的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π课后作业：1．如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A．16πB．12πC．8πD．4π2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．πD．π3．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．C．6πD．12π4．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2，PA＝PD，∠APD＝，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．参考答案与解析12．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．1．1．一个几何的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于（）A．B．C．πD．2π解析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，其中底面是一个两直角边都为1的直角三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝1．将此三棱锥恢复为棱长为1的正方体，可知该正方体的外接球的直径即为正方体的对角线，∴V外接球＝＝．故选：B．1．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，如图，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上，∵球O的半径为2，∴OB＝OP＝2，∴由余弦定理得cos∠BPM＝＝∴∠BPM＝30°，∴在Rt△PMB中，∠PBM＝60°，∴PM＝PB sin∠PBM＝3．故选：D．1．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为2，高为4，由题意可得：三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr2．球心到底面的距离为2，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：＝，所以球的半径为r＝＝．外接球的表面积为：4πr2＝π故选：D．2．已知在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，若PA⊥底面ABC且PA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．32πB．28πC．24πD．20π【解答】解：由正弦定理可知，正△ABC的外接圆的直径为，∵PA⊥平面ABC，所以，该三棱锥的外接球的直径为，则．因此，该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝20π．故选：D．3．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵AC＝3，AB＝4，∠BAC＝，∴由余弦定理可得BC＝，∴△ABC外接圆的半径r＝，设球心到平面ABC的距离为d，则d＝PA＝1．由勾股定理可得R ＝，故选：D ．3．正三棱锥P ﹣ABC 侧棱长为，侧棱与底面ABC 所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为 1 ． 【解答】解：过点P 作PH ⊥平面ABC 于H ，则∵AH 是PA 在平面ABC 内的射影 ∴∠PAH 是直线PA 与底面ABC 所成的角，得∠PAH ＝60°， ∴Rt △PAH 中，AH ＝PA cos60°＝，PH ＝PA sin60°＝设三棱锥外接球的球心为O ，∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在平面ABC 内的射影H 是△ABC 的外心由此可得，外接球心O 必定在PH 上，连接OA 、OB 、OC ∵△POA 中，OP ＝OA ， ∴∠OAP ＝∠OPA ＝30°，可得PA ＝OA ＝，∴三棱锥外接球的半径R ＝OA ＝1故答案为：1．2．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．12πC ．9πD ．8π【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体． 如图所示：所以该三棱锥体的外接球的球心为O ，外接球的半径为OA ＝r ，则：，解得．故S ＝．故选：C ．4.在三棱锥P-ABC 中，面PAB ⊥面ABC ，三角形ABC 和三角形PAB 均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.由题可得：333,2331'''=====AB r PM M O OO ,所以215'22=+=OO r R2．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，；如图，由已知可得，△ABC与△ACD均为等边三角形，取AC中点G，连接BG，DG，则BG⊥AC，∴DG＝⇒cos∠GDA＝⇒∠GDA＝⇒∠ADC＝；∵二面角B﹣AC﹣D为直二面角，则BG⊥平面ACD，分别取△BCD与△ABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，由△BCA与△ACD均为等边三角形且边长为2，可得OE＝OF＝DG＝．∴DE＝DG﹣GE＝．∴OD＝＝＝．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π×R2＝4π×（）2＝．故选：C．1．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为10π．【解答】解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l，∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理得cos B＝，⇒sin B＝，由正弦定理得：，解得R＝，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为s＝4πR2＝10π，故答案为：10π．1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP＝2，AB＝2，E为棱PD 中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD，又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD＝AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB＝A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．解：（II）四棱锥P﹣ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由已知BD＝＝＝4，设C为BD中点，∴AM＝2，OM＝AP＝1，∴OA＝＝＝3，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的体积是＝36π．1．如图，在正四棱锥P﹣AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA＝，B，C分别为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．（1）求证：AB∥FG；（2）求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积．【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE．又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE,所以AB∥平面PDE．因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG．（2）解：连接AD，EM，相交于O′，易得AO′＝，PO′＝．由正四棱锥P﹣AMDE的对称性，得正四棱锥P﹣AMDE得外接球球心在线段PO′上，不妨设为O点．设OA＝OP＝R，则OO′＝﹣R，∵AO2＝AO′2+OO′2，∴R2＝2+（﹣R）2，∴R＝∴S＝4πR2＝，∴正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积为．1．如图，四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD＝90°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在AD＝2，AB＝4，求三棱锥P﹣ABD的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积．【解答】解：（I）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．（II）过P作PE⊥AD，垂足为E，∵△PAD是等腰直角三角形，∠APD＝90°，∴PE＝＝1．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴V棱锥P﹣ABD＝S△ABD•PE＝••2•4•1＝．（III）取BD中点M，过M作MN⊥平面ABCD，则球心O在直线MN上，连接AM，则AM＝＝．∵PE⊥平面ABCD，∴MN∥PE．∵四棱锥P﹣ABCD内接于球，，∴OA＝＝．∴S⊙O＝4πOA2＝20π．∴E为外心，∴OM＝1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，上底面PCD的外接圆的半径：O1D＝＝，几何体的外接球的半径为：OD＝＝，该四棱锥的外接球的表面积是：4＝π．故选：A．课后作业答案：1．如图，一个正三棱柱的主视图是长为，宽为2的矩形，俯视图是边长为的正三角形，则它的外接球的表面积等于（）A．16πB．12πC．8πD．4π【解答】解：设正三棱柱的外接球的半径为R，则∵俯视图是边长为的正三角形∴底面三角形外接圆的半径为＝1，∵正三棱柱的高为2∴正三棱柱的外接球的半径为＝∴正三棱柱的外接球的表面积等于4π×＝8π故选：C．2．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．πD．π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长＝．∴此四面体的外接球的表面积为表面积＝＝3π．故选：B．3．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．C．6πD．12π【解答】解：由题意可知，几何体的直观图如图：是四棱锥D1﹣ABCD，是棱长为1的正方体的一部分，外接球奇数正方体的外接球，取得直径是体对角线，r＝，外接球的表面积为：4＝3π．故选：A．4．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2，PA＝PD，∠APD＝，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积．【解答】证明：（1）设AD的中点为E，则∵PA＝PD，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵PA在平面ABCD内的射影为AE，AE⊥CD，∴PA⊥CD，∵PA⊥PD，CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD∴PA⊥PC；解：（2）连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取截面PEF，PE＝，EF＝1．假设OF＝x，则由OA2＝x2+4＝1+得x＝0，∴球的半径为2，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为＝．。