从矩阵力学到波动力学矩阵力学的构造微观粒子在一定外部环境下的运动状态由波函数描写，而波函数可以通过解薛定谔方程得出。

我们已经知道，波函数可以告诉我们微观粒子处于空间各处的概率，除此之外，波函数还能告诉我们什么呢？ 波函数还能告诉我们关于微观粒子运动的一些其他的信息，这一节就来研究这个问题。

位置平均值既然知道位置概率，当然就能求出位置的平均值。

这是简单不过的事情了。

但是，一切其他信息却都是从位置平均值的讨论引申出来的。

微观粒子的位置概率是波函数的复平方。

确切地说，波函数的复平方),(),(t r t r ψψ*是在t 时刻，微观粒子处于空间r 点的概率密度，而),(),(t r t r ψψ*d τ是微观粒子在t 时刻处于空间包含矿点的一个小体积r 内的概率。

所以，处于Ψ（r ，t ）态的微观粒子的位置平均值什）应当这样计算⎰⎰∑∑**=⨯=τψψτψψd t r t r d t r t r r ),(),(),(),(概率概率个别值平均值 (1) 一般的波函数都是经过归一化的，即满足τψψd t r t r ),(),(⎰*=1 (2)所以微观粒子的位置平均值可以写成<r>=⎰*τψψd t r t r r ),(),( (3)在积分中把矿写在两个波函数当中是一种通常的写法，其原因稍后即可看出。

动量平均值位置和动量是两个最重要的物理量，下面讨论动量的平均值。

可是我们还不知道动量的概率是什么。

所幸的是我们知道一个粒子动量取确定值的状态，那就是平面波)(),(Et r p iArt r -⋅=ψ式。

即一个动量为p ，能量为mp E 22=的自由粒子，由下列波函数描写：)(),(Et r p p iAet r -⋅=ψ在讨论动量概率之前，让我们先研究一下平面波的归一化的问题。

因为平面波不是束缚态，它是充满整个空间的一种理想化的状态，它的归一化与束缚态有所不同。

为了不致使积分成为无穷大，我们不对整个空间积分而改成对一个很大的空间V 积分，令这个积分等于1来定归一化常数A ：1=τψψd t r t r v),(),(⎰*=AV A Ad A v**=⎰τ由此可以定出A ＝V1 (4)而动量为p 的平面波的波函数为 )(1),(Et r p p ieVt r -⋅=ψ (5)现在可以讨论动量的平均值问题了。

既然波函数包含着微观粒子运动的全部信息，那么任何物理量的平均值都应该由波函数以某种形式表示出来。

由于波函数是自变量（位置）矿的函数，而平均值中不包含这个自变量，平均值的表示式一定是波函数对空间的某种积分。

这是我们寻找平均值公式的一个线索。

现在我们用状态叠加原理用两个平面波构造一个动量平均值已知的状态，然后寻求这个平均值如何用波函数来表示。

取动量分别为p 1和p 2的两个平面波：)(1111),(),(Et r p p ieV t r t r -⋅==ψψ (6))(2221),(),(Et r p p ieVt r t r -⋅==ψψ (7)将前者乘以C 1，后者乘以C 2叠加起来：Ψ（r ，t ）＝C 1Ψ1（r ，t ）+ C 2Ψ2（r ，t ） (8) C 1和C 2是两个复数常数。

我们可以合理地认为，处于叠加态Ψ（r ，t ）中的粒子，它的动量不是取p 1，就是取p 2，而不能取其他值，取这两个值的概率应当与C 1和C 2的大小，即C 1* C 1和C 2* C 2成分多一些，粒子取这个平面波的动量的机会就应当多一些，所以叠加态(8)式所描写的粒子，其动量平均值应当是［参照(1)式］2211222111C C C C C C P C Cp p ****++=⨯>=<∑∑概率概率个别值 (9)现在我们首先看一看，为使叠加态(8)式成为归一化的，C 1和C 2应当满足什么条件，即 1=τψψd t r t r v),(),(⎰*=[][]⎰++****τψψψψd t r C t r C t r C t r C ),(),(),(),(22112211=τψψτψψτψψτψψD C C d C C d C C d C C 2221212121211111⎰⎰⎰⎰********+++ =C 2211C C C **+ (10) 在上式最后一步，我们利用了Ψ1和Ψ2都是归一化的事实：τψψd 11⎰*=1 τψψd 22⎰*=1 见(6)和(7)二式。

此外还利用了下式τψψd 21⎰*=1 τψψd 21⎰*=1 (11)即当P l=P 2时，上述两个积分为零。

亦即τψψd 21⎰*=1 即01)(12=⎰∙-τd eVr p p i(12)这一公式的证明见本节末的数学补充。

(10)式说明把C 1* C 1和C 2* C 2分(8)中粒子动量P 1和P 2的概率是适当的，因为它们二者之和等于1。

于是，平均动量<p >可以写成=++>=<****2211222111C C C C p C C p C C p C 1* C 1p 1+C 2* C 2p 2此式与（10）式的右方相比，两项分别多了p 1和p 2。

现在我们将此式按照(10）式倒回去推演那样计算如下： <p>＝ C 1* C 1p 1+C 2* C 2p 2＝ C 1* C 1p 1τψψd 21⎰*+ C 2*C 2p 2τψψd 22⎰*+ C 1* C 2p 1τψψd 21⎰*+ C 1*C 2p 2τψψd 22⎰* (13) 因为前两项的积分为1，后两项的积分为零。

上式又可写成因式分解形式： <p>=[][]τψψψψd P C P C C C2221112211++⎰****在上式的积分中，第一个方括号正是叠加态Ψ，即(8)式，而后一方括号由于p 1和p 2不同，无法提出到括号之外。

如果能提出来的话，那么动量平均值的公式也将成为与位置平均值 (3)式类似的形式：<p>=⎰ψτψd (14)这一点是可以做到的，因为Ψ1和Ψ2都具有(5)式的形式，我们有rp x r p i i e Vp e V x i ⋅⋅=∂∂- 11r p y r p i i e Vp e V y i ⋅⋅=∂∂- 11等等，所以有rp rp ii eVpeVi ⋅⋅=∇-11 (15)式中 zk y j x i∂∂+∂∂+∂∂=∇ (16) 由此可见，若分别将（13）式中的 P 1和 P 2换成∇- i ，则可将∇- i 提到方括号外面而将动量的平均值写成(14)式的形式⎰>=<ψp τψd (17)算符来了∇- i 称为算符。

算符就是运算的符号，表明对它后面的东西进行某种运算。

例如是开方算符，sin是将它后面的角度取正弦的算符。

∇是一种矢量微分算符。

现在，在量子力学中又进入一种新的数学成员——算符。

我们可以说，要计算一个物理量A 在Ψ态中的平均值，可以把这个物理量的算符A ˆ放入(14)式中的方框中积分即可。

我们可以定义位置r 的算符为rˆ： )ˆ()(ˆr r r rψψ= （18） 多是一个相乘算符，多作用于r 的函数上等于用r 乘这个函数，我们常常写 r r=ˆ （19） 但这个等式的意思是要将两边作用于一个r 的函数上才成立。

动量算符p 是一个微分算符∇-= i pˆ （20） 它的三个分量分别是x i px ∂∂-= ˆ， yi py ∂∂-= ˆ， z i p z ∂∂-= ˆ (21) 对于位置算符有z z y y x x===ˆ,ˆ,ˆ (22) 对易关系算符的一个重要特点是，有些算符不能对易，即A B B Aˆˆˆˆ≠ 例如x x i x x i x p x x x ∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=ψψψ )(ˆˆˆ)(而[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-=∂∂-==x x i x x i x p x px x x x x x ψψψψψ)()()()(ˆˆˆ 所以)()()ˆˆˆˆ(x x x x i x p p xψψ =- 即i x p p xx x =-)ˆˆˆˆ( (23) 定义[]A B B A B Aˆˆˆˆˆ,ˆ-= (24) 此式称为=B Aˆ,ˆ算符的对易式。

于是有 i p x x =]ˆ,ˆ[ （25） 同样有i p yy =]ˆ,ˆ[ i p z z =]ˆ,ˆ[ (26) 而[][][]0ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ===z y z x y x[][][]0ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ===z yzxyxpp p p p p(27)以及0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[======y x z x z y p z p z p y p y p x p x(28)薛定谔方程德布罗意提出，在经典物理中认为是粒子的东西，如电子等也有波性。

这种与粒子相联系的波当时称为物质波或德布罗意波，现在已不用这样的名称，在量子力学中称之为波函数。

薛定谔为这样的波找到一个正确的波方程，从而建立了量子力学。

现在我们沿着薛定谔的足迹走一走，看一看这个有名的薛定谔方程是怎样建立起来的。

当然，除了华山之外，从山下到山顶都不止一条路，作者也不知道下面介绍给读者的这条路当年薛定谔是否真的走过。

给自由电子找一个波方程电子的最简单的运动形式是不受外力作用的一束电子流。

它有固定的动量p 和能量E ，做匀速直线运动。

这样的电子流相当于最简单的一束光，即频率ν和波长λ取定值的一个平面波。

怎样描写光波我们是知道的，现在我们把电子束同平面光波相对比，利用德布罗意提出的粒子性与波性相联系的关系列式E=h ν=ω ，p=k n h=λ(1)看一看应该如何描写德布罗意波。

我们知道，平面单色光波（以电场为例）可以写成 E(r,t)=E 0 cos(k ·r －ωt)= E 0 cos(λπ2·r －ωt) (2) 或者写成 E （r ，t ）= E 0)2.2().(r r n i o t r k i eE e πνλπω--= （3）这两种写法实际上是一样的。

（4．3）式的指数形式中用了复数，这只是为了计算方便，有用的只是其中的实数部分，其虚数部分是舍弃不要的。

在λν=c 的条件下，（2）则式或（3）式都满足波动方程式01222222222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂tEc z E y E x E (4 ) 根据（1）式，描写动量为P 、能量为E 的一束电子的波应该写成 Ψ(r,t)=A ).(Et r p ie-(5)A 是一个常数。

现在我们的任务就是给（5）式找一个波方程。

波方程应该是一个时间和空间的微分方程，像光的波方程（4）式那样。

为了给（5）式找一个波方程，我们将此式对时间和空间微分一下看ψψψψ22221,E t E i t-=∂∂-=∂∂ψψψψ22221,x x p t p i x-=∂∂=∂∂ ψψψψ22221,y y p y p i y-=∂∂=∂∂ ψψψψ22221,z z p z p i z-=∂∂=∂∂ (6) 由上面的微分结果可以看出，利用自由电子的能量和动量的相对论关系E 2=c 2p 2+m 2c 4 (7) 立即可以从（7）式的关系构造出一个Ψ所满足的微分方程：()01)(4222222422222=---=+∇-∂∂ψc m p c E c m c t(8) 如果电子在势场中，势能为V （r ），则相对论关系（7）到式成为（ E －V ）2＝ c 2p 2＋m 2c 4 ( 9) 则Ψ所应满足的方程成为0422222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-∇+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ψc m c V t i (10)(8)和(9)二式就是薛定谔最初找到的电子的德布罗意波的波方程。