需要一個函數又是指數函數又是三角函數！
找一個函數，又是指數函數又是三角函數！
eax ' aeax
eax '' a2eax
sin ' cos
sin '' sin
要同時是指數與正弦函數，並不是不可能。 如果只看二次微分，可以假設： a2 1, a 1 i
波的頻率與波長的關係，一般稱為色散關係：對一般的波來說 f v
一般的色散關係，來自傳統的波方程式，那麼是 否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式？
我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。 畢竟所有週期波都是正弦波的疊加！ 一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。
一般波如何得出色散關係？ 考慮正弦波

2 2m
2 x 2
V
(x)

i
t
d 2
dx2

2m 2
V
(
x)

E


解出位置函數 ψ(x) 整個波函數就都知道了！
此常微分方程式有時也稱為與時間無關之薛丁格方程式。
固定能量解正好描述穩定態
i E t
(x,t) (x) e
機率密度
P


2


i E t
sin ei
此定義對一次微分不成立，但如果比較它們的一次微分，竟然也非常類似
sin ' cos cos ' sin
一次微分將cos與sin互換
eix ' ieix 虛數指數函數的一次微分是自己乘上 i 將實數部及虛數部互換
何不假設 ei 的實數部與虛數部分別是正弦與餘弦？
ea
eai ea
θ
Re
找到又是指數函數又是三角函數的函數了！
考慮複數的波函數
0 ei(kxt) 0 coskx t i sinkx t
如我們所預期，這個波函數的一次微分與自己成正比
ik x
ik i 2
x

i
Schrodinger Wave Equation
Davos, Swiss 1925

2 2m
2 x 2
V
(x)

i
t
A total of five papers in 1926
薛丁格證明了波動力學與矩陣力學數學上是等價的！ 因此以波來描述電子成為最簡單方便的辦法。 第一步就是要猜出波動方程式。
2 k 2
2m
k2

1 v2
2
右方的ω是一次方，表面上似乎翻為時間的一次微分
- sinkx-ωx -
t
我們當然可以選擇放棄這套翻譯法！
0 coskxt ?
或者也可以繼續這個翻譯的辦法，但以新的波函數來取代傳統的正弦波
這個新函數，它的一次微分與自己成正比，但又必須振盪！
V0

動能
這方程式與簡諧運動相同，其解很簡單：
(x) Aeikx Beikx
k
2m 2
E

V0

2
這正是德布羅意所猜到的波長與動量及能量的關係。
(x, t) (x) eit Aei(kxt) Bei(kxt)
分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波 波速不是定值
x x dx
b
2 dx 在 a 與 b 之間發現該粒子的機率
a
雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！ 但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！
薛丁格方程式的解 固定能量解
固定能量解
薛丁格方程式一般來說很難解，但在某些特殊情況下是可以解的： 我們通常對於能量為一定值 E 的解最有興趣，畢竟獨立系統都遵守能量守恆：
單一方向傳播的電子波機率密度為一常數
P (x,t) 2 A2
動量完全確定，位置完全不確定，波狀的態的波函數 粒子總是有一些區域性，需要一系列的電子波的疊加：波包。
動量不可能完全精確，若將波長有些微差距的兩個波 疊加，結果振幅會出現忽大忽小的周期變化。
Beat
如果進一步疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振 幅會集中在一個區域之內，稱為波包。
電子顯微鏡
k
2m 2
E

V0

2
以0.1c光速移動的電子
7.281011m 遠小於可見光，故鑑別度高於
可見光顯微鏡！
單一方向傳播的電子波，波長確定，動量確定：
A ei(kxt) A coskx t i sinkx t
與一般的波不同，它有虛數部！
0 coskxt
2 x 2

k 2
k 的二次方，翻譯為位置的二次微分
2 t 2

- 2
ω 的二次方，翻譯為時間的二次微分
代入波方程式即給出色散關係
2 1 2 x2 v2 t 2
k2k212 1 2
v2 v2
f v
這個翻譯方式，對物質波卻行不通：
(x)e
2

(x) 2
i E t
e
2


(x)
2
與時間無關
可以證明其他物理測量的期望值與時間無關！
旅行波
自由電子
當電子受力為零時，位能V 是一常數，V (x) V0 假設 E V0
d 2
dx2

2dmd2 2x2V0Ek2
k 2
k
2m 2
E

(x) Cex
x0

2m 2
V0

E

電子波會以指數遞減 的程度滲入古典粒子 無法進入的區域！
能量較低的波包撞擊位階，波會滲入禁止區， 但長期而言，反彈如同古典粒子。
但如果這位能只持續很小一個範圍，位能很薄，粒子便能滲透過去：
穿隧效應 Tunneling Effect
t
i i2f
t
時間微分翻譯為 ω，位置微分翻譯為 k
?
2 2m
2 x 2

i
t
對電子波而言：色散關係：
2 k 2
2m
Schrodinger Wave Equation
同樣的邏輯也是用於一般的波：
0 ei(kxt) 0 coskx t i sinkx t
p k
h
2
E
0 coskxt
粒子與波的翻譯表
E hf
E
p h

p k
對一個自由粒子來說，能量與動量是有關係的：
p2 E 2m
因此，這個關係也就翻譯為波長與頻率的關係：
1

h
2


hf
2m
2 k 2
2m
這就是一維的散射，所以散射後測量該電子， 有可能發現它往右運動，也有小部分機率會 發現它往左，但發現是永遠是一顆電子。
如果式一束電子，波的強度就是電子數的分布！
Tunneling effect
如果 E Vo
如果 EE <VV0o ，波數 k2 2mE V0 / 2 為虛數，
古典的粒子根本不能存在這樣的區域， 然而在量子力學中，波函數還是有解， 只是此時不再是正弦波，而是指數函數
電子波波方程式? ຫໍສະໝຸດ 2 2m2 x 2
V
(x)

i
t
Schrodinger Wave Equation
2 k 2 V
2m
Schrodinger Wave Equation

2 2m
2 x 2
V
(x)

i
t
因為有虛數係數，波函數必須是複數！ 波函數的實數部與虛數部無法分開。
正好是我們期待指數函 數必須滿足的乘積關係。
此定義滿足指數函數所有重要性質！
我們可以更進一步定義複數的指數函數： ei cos i sin
eai eaei ea cos i sin
在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角
Im
ei 1
nm n m
這些解因為能量固定，因此具有固定頻率： f E / h
以自由電子為例：
0 ei(kxt) 0 eikx eit
i (x,t) (x,t) E (x,t)
t
其與時間關係很簡單：波函數的變化率正比於波函數本身
i (x,t) E (x,t) t
ik x
ik i 2
x

i
t
i i2f
t
波方程式即給出色散關係
2y 1 2y x2 v2 t 2
k2

1 v2
2
但此時波函數的實數部與虛數部可以分開，一開始起始 條件沒有虛數部，以後也就沒有虛數部。
以此指數三角函數來嘗試構造自由電子的波函數
ei cos i sin
ei ' sin i cos iei
ei '' cos i sin ei i2ei
正好是我們期待指數函 數必須滿足的微分關係。
ei ei cos i sin cos i sin cos cos sin sin isin cos cos sin cos i sin ei
k i eikx ex
d 2
dx2
2m22V0 E
2
(x) Aex Bex