1- q
ïîna
q ¹ 1时 q = 1时
① 当 q < 1 时， lim qn = 0 ，从而 n®¥
lim
n®¥
Sn
=
lim
n ®¥Байду номын сангаас
a(1 - qn ) 1- q
=
a 1- q
，故级数收敛，其和为 a 1- q
；
②
当
q
>
1
时，
lim
n®¥
Sn
= ¥ ，故该级数发散；
③
当
q
=
1
时，
lim
n®¥
Sn
n =1
n=1
n=1
n=1
¥
¥
¥
（2）级数 åkun （ k 为常数）也收敛，且 å kun = k åun
n =1
n =1
n =1
¥
¥
å å （3）若 un £ vn ，则 un £ vn
n =1
n =1
¥
¥
证：（1）设级数 åun 与 åvn 的部分和分别为tn 与 ln
n =1
n =1
¥
则级数 å(un ± vn ) 的部分和 Sn 为：
这是代数运算中常用的方法，要求学生会运用。
¥
例3 讨论级数 å
1
的敛散性。
n=1 n + n + 1
解：此级数的部分和为
1
Sn = 1+
+ 2
1 2+
+L + 3
1 n + n+1
= ( 2 -1) + ( 3 - 2 ) + L + ( n + 1 - n )
= n +1-1
而
lim
n®¥
S
n
=
n =1
是公比
q
=
-1 3
< 1 的等比级数，所以收敛，且其和为
1-
3 (- 1)
=
1 4
。
3
å 由上述性质可知级数
¥ n=1
2 + (-1)n-1 3n
收敛，且其和为1 +
1 4
=
5 4
。
注意：只有收敛的级数可以进行加减，若两级数中有一个发散，那么结论都不成立。 性质 2 在级数的前面去掉或加上有限项，不改变级数的敛散性。
证：由于级数的部分和数列
Sn
=
1 1× 2
+
1 2×3
+L +
1 n(n + 1)
= (1 - 1) + ( 1 - 1) + L + ( 1 - 1 )
2 23
n n +1
=1- 1 n +1
而
lim
n®¥
S
n
=
lim(1 -
n ®¥
1) n +1
= 1 ，所以该级数收敛，且其和
S=1。
此题的关键在于部分和的计算，怎样把一般项拆成两项的差，从而使得一些项相互抵消，
1．常数项级数的定义
对于已给数列{un } ，把它的各项依次用加号连续起来的表达式：
¥
åun = u1 + u2 + L + un + L
n =1
称为常数项次数， un 称为该级数的通项或一般项。
n
å Sn = uk = u1 + u2 + L + un
k =1
称为该级数的部分和， {Sn } 称为该级数的部分和数列。 2．常数项级数收敛的定义
n =1
Sn = (u1 ± v1) + (u2 ± v2 ) + L + (un ± vn ) = t n ± ln
而
lim t
n ®¥
n
=t
，
lim
n ®¥
ln
= l ，所以
lim
n®¥
Sn
=
lim(t
n ®¥
n
±
l)
=t
±l
¥
这说明级数 å(un ± vn ) 收敛，且其和为t ± l 。
n =1
第七章 无穷级数
第一讲 常数项级数
教学目的与要求：理解无穷级数的定义，区分有限多个数相加与无穷多个数相加的本质 区别，掌握无穷级数收敛的意义和性质，以及级数收敛的必要条件，会判断简单级数的敛散 性。
知识点：常数项级数的定义；级数收敛的性质；级数收敛的必要条件。 重点：级数敛散性的判断。 难点：求收敛级数的和。 教学方式：讲授。 教学思路：首先由数列引入常数项级数的定义、部分和数列，判断级数的敛散性关键在 于求部分和数列的极限，若极限存在，说明级数收敛，否则级数发散，可列举简单题型教会 学生如何根据定义来判断级数的敛散性，最后介绍收敛级数的性质和级数收敛的必要条件。 教学过程：
证：设有级数
u1 + u2 + L + uk + uk+1 + L + uk +n + L 将其前 k 项去掉，得到新级数
uk +1 + uk+2 + L + uk+n + L
于是新得的级数的部分和为
ln = uk+1 + uk+2 + L + uk+n = Sk +n - Sk
（2）、（3）的结论类似，由学生自己证明。 这个性质说明收敛的级数可以进行线性运算，还可以比较大小。
例4
å 判别级数 ¥ 2 + (-1)n-1 是否收敛？若收敛，求其和。
n =1
3n
2
å¥
解：因为级数
2
3n
n =1
是公比 q
=
1 < 1 的等比级数，所以收敛，且其和为 3
3
1- 1
=1。
3
1
å¥ (-1)n-1 3n
a
¥
；当 q ³ 1 时，级数 aqn-1 发
n =1
1- q
n =1
散。 等比级数为常用的数项级数，对于它的敛散性结论要求学生当作公式来熟记，必须牢牢
掌握，且会运用。
å¥
例 2 证明级数
1
= 1 + 1 +L + 1 + L 收敛，且其和 S=1
n=1 n(n + 1) 1× 2 2 × 3
n(n + 1)
rn
=
lim(S
n ®¥
- Sn )
=
0
例 1 讨论公比为 q 的等比级数（也叫几何级数）
¥
å aqn-1 = a + aq + aq2 + L + aqn-1 + L （ a ¹ 0 ）的敛散性。
n =1
解：该级数的部分和为
ì a(1 - qn )
Sn
=
a
+
aq
+
aq2
+ L + aqn-1
=
ï í
¥
，故此级数发散。
此题求部分和主要运用了分母有理化的知识，从而使得各项中的某些项可以相互抵消， 这也是求部分和中常用的方法。
3．无穷级数的基本性质
¥
¥
性质 1 若级数 åun 与 åvn 都收敛，则
n =1
n =1
¥
¥
¥
¥
（1）级数 å(un ± vn ) 也收敛，且 å(un ± vn ) = åun ±åvn
¥
å 定义 1
若级数
un
n =1
的部分和数列
{S n
}
收敛，即
lim
n®¥
Sn
=
S
，则称该级数收敛，并称
n
¥
¥
å å å S
=
lim
n®¥
Sn
=
lim
n ®¥
uk 为它的和，记作
un = S ；否则，称该级数发散，rn = S - Sn =
uk
k =1
n =1
n =1
称为该级数的余项，且
lim
n®¥
= lim na = ¥ ，故级数发散； n ®¥
④ 当 q = -1 时，该级数变为 a - a + a -L + (-1) n-1a +L
其部分和
ìa Sn íî0
n为奇数 n为偶数
,显然
lim
n®¥
S
n
不存在，此时级数也发散。
å å ¥
综上所述，当 q < 1 时，级数 aqn-1 收敛，其和为